Первая по времени из сохранившихся драм Еврипида — «Алкестида», поставленная в 438 г. и вместо сатировской драмы заключавшая драматическую тетралогию. Сюжет ее взят из мифа о фессалийском царе Адмете, который, согласно оракулу, мог бы избегнуть смерти, если бы кто-нибудь согласился умереть вместо него. Но никто, включая престарелых родителей, не пришел на помощь Адмету, когда наступил его смертный час; лишь одна Алкестида, жена Адмета, добровольно пожертвовала собой, чтобы спасти мужа. Когда же она умерла, в дом Адмета неожиданно пришел его друг Геракл. Узнав о случившемся, Геракл вступил в поединок с демоном смерти и отнял у него Алкестиду. В этом древнем мифе соединены два тесно переплетенных между собой фольклорных мотива: первый — о жене, умирающей за мужа, и второй — о поединке богатыря со смертью. Еще до Еврипида этот миф уже был использован драматургами. Так, один из них, современник Эсхила Фриних, изобразил Алкестиду умирающей на свадебном пире. У Еврипида Алкестида — жена и мать. Она счастлива в браке и всем сердцем привязана к мужу, детям и к своему дому. Поэтому столь тягостно для нее расставание с жизнью и мучительно трудна ее добровольная жертва. Обаятельный образ Алкестиды дополнен рассказом служанки о прощании царицы со слугами:
Для Еврипида и его зрителей не существовало вопроса о нравственных качествах Адмета, принявшего такую жертву от жены. Персонажи античной трагедии всегда ограничены сюжетами мифов. В мифе и сказке был мотив самопожертвования. Еврипид перенес его в свою драму и сосредоточил все внимание на человеке и его чувствах. Он показал переживания Алкестиды и страдания Адмета, раскрыв такую полноту человеческих чувств, которая до него была неизвестна в античной драматургии. Мифологический сюжет при всей его условности не помешал поэту изобразить жизненную бытовую драму.
Такой же семейной драмой явилась трагедия «Медея», поставленная в 431 г. и получившая третий приз, т. е. провалившаяся, при первой постановке. Впоследствии она была признана одним из лучших произведений Еврипида. Сюжет «Медеи» взят из мифа о походе аргонавтов. Некогда герой Фрикс, спасаясь от козней злой мачехи, на волшебном баране переплыл море и попал в Колхиду, где принес барана в жертву богам в благодарность за свое спасение, а его золотую шерсть (руно) повесил в священной роще под охраной неусыпного дракона. Царь фессалийского города Иолка Пелий, отнявший власть у своего брата и стремившийся освободиться от всех законных претендентов, послал племянника Ясона добыть и привезти обратно в Элладу золотое руно. Ясон собрал могучих героев, они вместе построили корабль, назвали его «Арго» и отплыли в Колхиду. Царь Колхиды Эет не пожелал отдать аргонавтам руно и предложил Ясону сначала выполнить несколько заданий, надеясь на то, что герой, не сумев справиться с ними, погибнет. На помощь Ясону пришла дочь Эета, волшебница Медея. Она научила героя, как укротить огнедышащих меднокопытных быков, как вспахать на них поле и засеять его зубами дракона, а затем победить страшных гигантов, выросших из посеянных зубов. Когда же Эет отказался от своего обещания, решив погубить аргонавтов, Медея предупредила Ясона, помогла ему похитить руно и вместе с аргонавтами бежала из Колхиды в Элладу. Тут она спасла Ясона от коварного Пелия. Однако после насильственной смерти последнего Ясону и Медее пришлось покинуть Иолк и искать убежище в городе Коринфе. В Коринфе Ясон оставил Медею и женился на дочери коринфского царя. Медея отравила новую жену Ясона и ее отца, а жители Коринфа убили малолетних сыновей Медеи, мстя ей за убийство их царя. Это мифическое преступление коринфян не раз вспоминали впоследствии, когда полисы-соперники стремились подорвать авторитет Коринфа. Даже в исторические времена в качестве местной достопримечательности в Коринфе показывали могилы убитых детей Медеи и Ясона.
Местом действия трагедии Еврипид выбирает Коринф. Драма открывается прологом, в котором старая кормилица рассказывает о том, что Ясон недавно покинул свою прежнюю семью и теперь Медея вне себя от гнева и горя. Хорошо зная свою госпожу, кормилица страшится ее необузданного нрава:
Однако не ревность и не любовь терзают Медею. Она чувствует себя обманутой в своем доверии и сама говорит об этом коринфянкам, составляющим хор трагедии: