История марксизма-ленинизма. Книга вторая (70 – 90-е годы XIX века)

Наконец, третий этап истории дифференциального исчисления, по Марксу, обязан своим возникновением Лагранжу. Это этап алгебраической интерпретации дифференциального исчисления.

Оценивая научные результаты, полученные Лагранжем, Маркс писал, что тот, наконец, «действительно освобождается от всего, что представляется ему метафизической трансцендентностью во флюксиях Ньютона, в бесконечно малых разного порядка Лейбница, в теории пределов исчезающих величин, в подстановке символа 0/0 (= dy/dx) вместо дифференциальных коэффициентов и др.». Впрочем, это, отмечает Маркс, «не мешает ему самому, в применении его теории к кривым и т.д., постоянно пользоваться тем или иным из этих „метафизических“ представлений»[638], что делает его точку зрения непоследовательной.

Проанализировав различные трактовки дифференциального исчисления, Маркс пришел к выводу, что задача его обоснования еще не получила удовлетворительного решения. Вместе с тем исторический способ рассмотрения дал возможность выявить перспективные тенденции, которые намечали конструктивные подходы к такому решению, и это позволило Марксу предвосхитить сам принцип обоснования новых идей, порождаемых ходом развития математического знания. На примере дифференциального исчисления Маркс, по существу, показывает, что основную роль в этом играет интерпретация вначале еще «таинственных» абстракций через содержательно более ясные, уже прошедшие через процедуру обоснования теоретические объекты. Именно такой представлялась ему, в частности, интерпретация анализа бесконечно малых через алгебраические понятия и операции. Опираясь на этот принцип обоснования, Маркс затем попытался решить методологические проблемы исследуемого им раздела самостоятельно.

Связь между теорией, подлежащей интерпретации, и теми математическими понятиями и образами, которые для этой интерпретации используются, Маркс истолковал как имеющую не только логический, но и генетический аспекты. С этих позиций задача обоснования дифференциального исчисления и его окончательной демистификации предстала как детальное воссоздание «происхождения» его понятий и операций и их выведения из некоторых первичных по отношению к ним математических объектов и действий над ними. В этом смысле Маркс говорит, в частности, о том, что символы дифференцирования представляют собой специфическое выражение «реального дифференциального процесса», понимая под этим последним развернутую во времени совокупность математических действий, которые необходимо совершить для получения производных и дифференциалов. Однако, возникнув как простое обозначение некоторых операций, как «конечный пункт алгебраического развития» они затем могут превращаться (и на самом деле превращаются) в самостоятельные математические объекты, становятся исходным пунктом новой теоретической структуры – «исходным пунктом движущегося на собственной почве дифференциального исчисления»[639]. В результате этого происходит изменение первоначального порядка познавательных операций с символами на противоположный (так называемое оборачивание метода): он состоит уже не в движении от «реальных» процессов к символам, а, наоборот, в отыскании для символов их возможных реальных эквивалентов, задаваемых этими символами определенных «стратагем действий»[640].

Такой способ трансформации знания, детально прослеженный Марксом на примере исследованного им раздела математики, как показало дальнейшее развитие науки, является одной из общих закономерностей и способов логического развития абстрактных теоретических систем вообще. В условиях современной научно-технической революции, когда развитие научного знания во многом определяется развитием его математического аппарата, «оборачивание метода» стало одним из наиболее характерных «ходов» диалектического движения познания наших дней, и вместе с тем – одним из источников противоречий познавательного процесса.

3. Диалектика развития материи: неорганическая природа

Материя и формы ее движения