История марксизма-ленинизма. Книга вторая (70 – 90-е годы XIX века)

Первый из них он именует «мистическим», подчеркивая этим то обстоятельство, что творцы дифференциального исчисления Ньютон и Лейбниц не могли достаточно строго и убедительно обосновать введенные ими символы и формулы, поскольку понятие бесконечно малой, на которое они опирались, не было сформулировано сколько-нибудь четким и непротиворечивым образом. В одних случаях бесконечно малая рассматривалась как равная нулю, в других – как очень малая, но отличная от нуля. Однако в первом случае было непонятно, как в результате операций с ними получаются не равные нулю величины, а во втором отбрасывание или, как выражается Маркс, «насильственное устранение» бесконечно малых оказывалось математически не обоснованным. Приемы дифференцирования практически доказали свою эффективность, но почему – это оставалось загадкой. Творцы анализа бесконечно малых, отмечает Маркс, и сами верили в таинственный характер открытого ими исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо поразительные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом, они «сами себя мистифицировали и тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызывали с их стороны враждебные вопли, будившие отклик даже в мире неспециалистов и необходимые для прокладывания пути новому»[636].

Следующий этап развития представлений о сущности анализа бесконечно малых Маркс называет рациональным дифференциальным исчислением и связывает его с именем Даламбера. Превращение конечного приращения в дифференциал, который «у мистиков и инициаторов исчисления… является исходным пунктом», в работах этого математика выступает уже лишь как «конечный результат развития или по крайней мере его заключительная стадия»[637]. Даламбер конкретно показывает, как из отношения приращения функции к приращению аргумента получается производная и как из конечных приращений получаются дифференциалы. Это хотя и не разрешило в полной мере проблему обоснования анализа бесконечно малых, все же позволило сорвать с него покров таинственности и сделать крупный шаг вперед в прояснении его реального смысла.