Избранные научные труды. Том 1

⎪

⎭

=

⎧

⎪

⎩

𝑟

∂

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

+2

∂²

∂𝑟²

+

2

𝑟

∂

∂𝑟

+

2

𝑟²

∂²

∂θ²

=

=

⎧

⎪

⎩

𝑟

∂

∂𝑟

+2

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

-2

⎧

⎪

⎩

∂²

∂𝑧²

-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

,

это даёт

⎧

⎪

⎩

∇²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

𝑟

∂

∂𝑟

𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

⎤

⎥

⎦

=

=2

⎧

⎪

⎩

𝑏²-𝑖𝑏

𝑐ρ

μ

⎫

⎪

⎭

𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

=

2𝑏²

𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

,

(16)

и из соотношений (15) и (16) следует, что

α

₁

=

⎡

⎢

⎣

𝑏

𝑑

𝐵𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

+

𝐶

1

𝑟

𝐽

_𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

,

(17)

а из (11) получаем

-

1

∂β

₁

𝑟

∂θ

=

∂α₁

∂𝑟

+

α₁

𝑟

+

∂ω₁

∂𝑧

=

=

⎧

⎨

⎩

𝐵

⎡

⎢

⎣

𝑖𝑏

𝐽

''

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

+

𝑏

1

𝑑

𝑟

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

+

𝑖𝑏

𝐽

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

+

𝐶

𝑖𝑏

1

𝑟

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎫

⎬

⎭

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

.

(18)

С помощью соотношения

𝐽

''

𝑛

(𝑥)

+

1

𝑥

𝐽

'

𝑛

(𝑥)

+

⎧

⎪

⎩

1-

𝑛²

𝑥²

⎫

⎪

⎭

𝐽

𝑛

(𝑥)

=0

(19)

из уравнения (18) имеем

β

₁

=

⎡

⎢

⎣

𝐵

𝑛𝑏

1

𝑑

𝑟

𝐽

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

-𝐶

𝑑

𝑛

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

.

(20)

Подставляя в равенства (9) и (5) выражения для 𝑝, α₁, β₁ и ω₁, задаваемые формулами (12), (14), (17) и (20), получаем

α=

⎡

⎢

⎣

-𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑏𝑟)

+𝐵

𝑏

𝑑

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

+𝐶

1

𝑟

𝐽

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

,

β=

⎡

⎢

⎣

-𝐴

𝑛

1

𝑏𝑐ρ

𝑟

𝐽

𝑛

(𝑖𝑏𝑟)

+𝐵

𝑏𝑛

1

𝑑²

𝑟

𝐽

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

+𝐶

𝑑

𝑛

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

,

𝑤=𝑐+ω=𝑐+

⎡

⎢

⎣

-𝐴

1

𝑒ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑏𝑟)

+𝐵

𝐽

𝑛

(𝑖𝑑𝑟)

⎤

⎥

⎦

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

.

(21)

Предположим, что уравнение поверхности имеет вид

𝑟-𝑎=ζ=𝐷

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑏𝑧}

.

Из общего граничного условия на поверхности имеем

𝐷

𝐷𝑡

(𝑟-𝑎-ζ)

=

⎧

⎪

⎩

α

∂

∂𝑟

+

β

∂

𝑟

∂θ

+𝑤

∂

∂𝑧

⎫

⎪

⎭

(𝑟-𝑎-ζ)

=0,

откуда, пренебрегая величинами того же порядка малости, что и раньше, находим

𝑎-𝑐

∂ζ

∂𝑧

=0,

ζ=-

𝑖

𝑐𝑏

α.

(22)

Обозначая главные радиусы кривизны через 𝑅₁ и 𝑅₂, получаем, далее, аналогичным образом

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

=

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

∂²ζ

𝑎²

∂θ²

-

∂²ζ

∂𝑧

=

1

𝑎

-α

𝑖(𝑛²-1+𝑏²𝑎²)

𝑎²𝑐𝑏

.

(23)

Пусть 𝑃_𝑟, 𝑃_θ и 𝑃_𝑧 — соответственно радиальная, тангенциальная и аксиальная составляющие действующей в вязкой жидкости силы сцепления, отнесённой к единице площади элемента поверхности, расположенного перпендикулярно радиус-вектору. Принимая рассматриваемый радиус-вектор за ось 𝑋 и используя общепринятые обозначения, имеем

𝑃

_𝑟

=

𝑝

_𝑥,𝑥

=

-𝑝

+2μ

∂𝑢

∂𝑥

,

𝑃

_θ

=

𝑝

_𝑥,𝑦

=

μ

⎧

⎪

⎩

∂𝑣

∂𝑥

+

∂𝑢

∂𝑦

⎫

⎪

⎭

,

𝑃

_𝑧

=

𝑝

_𝑥,𝑧

=

μ

⎧

⎪

⎩

∂𝑤

∂𝑥

+

∂𝑢

∂𝑧

⎫

⎪

⎭

.

Используя соотношения (8), дифференцируя и полагая θ=0, получаем

𝑃

_𝑟

=

-𝑝

+2μ

∂α

∂𝑟

,

𝑃

_θ

=

μ

⎧

⎪

⎩

∂β

∂𝑟

+

1

∂α

𝑟

∂θ

-

β

𝑟

⎫

⎪

⎭

,

𝑃

_𝑧

=

μ

⎧

⎪

⎩

∂α

∂𝑧

+

∂𝑤

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

.

(24)

Введём коэффициент поверхностного натяжения 𝑇; предполагая отсутствие «поверхностной вязкости», динамические условия на поверхности с прежней степенью точности можно записать в виде

𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑅₁

+

1

𝑅₂

⎫

⎪

⎭

+

𝑃

_𝑟

=const,

𝑃

_θ

=0,

𝑃

_𝑧

=0;

(25)

отсюда, принимая во внимание равенства (23) и (24), получаем

⎡

⎢

⎣

-𝑇α

𝑖(𝑚²-1+𝑎²𝑏²)

𝑎²𝑐𝑏

-𝑝+2μ

∂α

∂𝑟

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0,

(26)

⎧

⎪

⎩

1

∂α

𝑟

∂θ

+

∂β

∂𝑟

-

β

𝑟

⎫

⎪

⎭𝑟=𝑎

=0,

⎧

⎪

⎩

∂α

∂𝑧

+

∂𝑤

∂𝑟

⎫

⎪

⎭𝑟=𝑎

=0.

(27)

Подставляя в эти условия значения 𝑝, α, β и 𝑤, задаваемые формулами (12) и (21), и исключая 𝐵/𝐴 и 𝐶/𝐴, получаем уравнения для определения 𝑏. Поскольку вычисления оказываются довольно длинными и приводят к очень громоздкому результату, мы не будем воспроизводить указанную процедуру точно, а ограничимся приближением, достаточным для наших целей.

В экспериментах численное значение величины | 𝑖𝑎𝑏 | оказывается малым, так как длина волны обычно велика по сравнению с диаметром струи: значение же величины | 𝑖𝑎𝑑 |, напротив, велико, так как мал коэффициент вязкости. (Во всех экспериментах | 𝑖𝑎𝑏 | < 0,24 и | 𝑖𝑎𝑑 | > 20.)

При всех значениях 𝑥 справедливо разложение

𝐽

𝑛

(𝑥)

=

𝑥^𝑛

2^𝑛⋅𝑛!

-

𝑥^𝑛+2

2^𝑛+2⋅1!(𝑛+1)!

+

𝑥^𝑛+4

2^𝑛+4⋅2!(𝑛+2)!

-…

(28)

Ряд (28) быстро сходится при малых 𝑥, но очень медленно — при больших 𝑥. Из разложения (28) следует

𝐽

'

𝑛

(𝑥)

=

𝑛

𝑥

𝐽

𝑛

(𝑥)

⎡

⎢

⎣

1-

𝑥²

2𝑛(𝑛+1)

-

𝑥⁴

2³⋅𝑛(𝑛+1)²(𝑛+2)

-…

⎤

⎥

⎦

и далее с помощью (19)

𝐽

''

𝑛

(𝑥)

=

𝑛(𝑛-1)

𝑥²

𝐽

𝑛

(𝑥)

⎡

⎢

⎣

1-

𝑥²(2𝑛+1)

2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)

+

𝑥⁴

2³(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)²(𝑛+2)

…

⎤

⎥

⎦

.

Поэтому, вычисляя диссипативные члены в уравнении для определения 𝑏, мы будем полагать

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

=-

𝑖𝑛

𝑎𝑏

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

2𝑛(𝑛+1)

⎤

⎥

⎦

и

𝐽

''

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

=-

𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑏²

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²(2𝑛+1)

2(𝑛-1)𝑛(𝑛+1)

⎤

⎥

⎦

.

(29)

Для вычисления 𝐽_𝑛(𝑥) при больших значениях 𝑥 мы воспользуемся асимптотическим выражением

𝐽

_𝑛

(𝑥)

∼

(2π𝑥)

^-½

⎧

⎨

⎩

[

𝑃

_𝑛

(𝑥)

+

𝑖𝑄

_𝑛

(𝑥)

]

exp 𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑥-

2𝑛+1

4

π

⎫

⎪

⎭

[

𝑃

_𝑛

(𝑥)

-

𝑖𝑄

_𝑛

(𝑥)

]

exp -𝑖

⎧

⎪

⎩

𝑥-

2𝑛+1

4

π

⎫

⎪

⎭

⎫

⎬

⎭

(30)

где

𝑃

_𝑛

(𝑥)

=

1-

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)

2!(8𝑥)²

+

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)(4𝑛²-7²)

4!(8𝑥)⁴

-…

и

𝑄

_𝑛

(𝑥)

=

4𝑛²-1²

1!8𝑥

-

(4𝑛²-1²)(4𝑛²-3²)(4𝑛²-5²)

3!(8𝑥)³

+…

Если в формуле (30), справедливой при положительной вещественной части 𝑥, взять несколько членов, то она будет давать очень хорошее приближение для 𝐽_𝑛(𝑥) при больших 𝑥. При использовании формулы (30) 𝑥 можно записать в виде 𝑎-𝑖𝑏, где 𝑎 и 𝑏 — большие положительные числа. При этом член с 𝑒^𝑖𝑥 будет преобладающим; пренебрегая членом с 𝑒^-𝑖𝑥, имеем

𝐽

'

𝑛

(𝑥)

=

𝑖𝐽

𝑛

(𝑥)

⎡

⎢

⎣

1+

𝑖

2𝑥

-

4𝑛²-1

8𝑥²

+

𝑖(4𝑛²-1)

8𝑥³

-…

⎤

⎥

⎦

и, согласно (19),

𝐽

''

𝑛

(𝑥)

=

-𝐽

𝑛

(𝑥)

⎡

⎢

⎣

1+

𝑖

𝑥

-

2𝑛²-1

2𝑥²

-

𝑖(4𝑛²-1)

8𝑥³

-…

⎤

⎥

⎦

.

Исходя из сказанного, мы в дальнейших расчётах положим

𝐽

'

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

=

𝑖𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

⎧

⎪

⎩

1+

1

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑

⎫

⎪

⎭

и

𝐽

''

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

=

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

⎧

⎪

⎩

1+

1

𝑎𝑑

+

2𝑛²+1

2𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

(31)

Теперь из соотношений (27) с помощью (29) и (31) мы получаем

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑏

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

2(𝑛-1)(𝑛+1)

⎤

⎥

⎦

+

+

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

2𝑛𝑏

𝑎𝑑

⎧

⎪

⎩

1+

3

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

-

-

𝐶

𝑛

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑖𝑑²

𝑛

⎧

⎪

⎩

1+

2

𝑎𝑑

+

2𝑛²+1

𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

=0

(32)

и

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛

𝑎

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

2𝑛(𝑛+1)

⎤

⎥

⎦

+

+

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑑

⎧

⎪

⎩

1+

1

2𝑎𝑑

+

4𝑛²-1

8𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

-

𝐶𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

𝑖𝑏

𝑎

=0.

(33)

Из соотношений (32) и (33) находим

𝐵𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

≈

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

2𝑛

𝑎𝑑

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

2𝑛(𝑛+1)

⎤

⎥

⎦

⎧

⎪

⎩

1-

1

2𝑎𝑑

-

12𝑛²-8𝑛-3

8𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

и

𝐶𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑑)

≈

𝐴

1

𝑐ρ

𝐽

𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

𝑖2𝑛²(𝑛-1)

𝑎²𝑑²𝑏

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

2(𝑛²-1)

⎤

⎥

⎦

⎧

⎪

⎩

1-

2

𝑎𝑑

-

2𝑛²-3

𝑎²𝑑²

⎫

⎪

⎭

.

(34)

Формула (26) с учётом равенств (12), (21), (29), (31), (34) и (13) теперь даёт

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

⋅

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

⎡

⎢

⎣

1+

𝑎²𝑏²

𝑛(𝑛-1)

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1+

𝑛-1

𝑎𝑑

+

(𝑛-1)(2𝑛-3)

2𝑎²𝑑²

⎤

⎥

⎦

-

-𝑇

𝑖𝑏𝑎 𝐽

'

_𝑛

(𝑖𝑎𝑏)

𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽

_𝑛 (𝑖𝑎𝑏)

(𝑛²-1+𝑎²𝑏²)=0.

(35)