Избранные научные труды. Том 1

λ

⎫4

⎪

⎭

+…

⎤

⎥

⎦

×

×

⎧

⎨

⎩

1+

𝑀

₁

𝑏²

𝑎²

⎡

⎢

⎣

1+γ

₁

⎧

⎪

⎩

𝑎

λ

⎫2

⎪

⎭

+…

⎤

⎥

⎦

+

𝑀

₂

𝑏⁴

𝑎⁴

(1+…)+…

⎫

⎬

⎭

,

где константы 𝑁₁, 𝑁₂, … и 𝑀₁, 𝑀₂, … равны соответствующим константам в уравнении (76) при подстановке в него 𝑡=𝑧/𝑐, и 𝑞=2πλ/𝑐=𝑘/𝑐.

Пренебрегая поправками более высокого порядка по 𝑏/𝑎, пользуясь формулой Рэлея для длины волны бесконечно малых трёхмерных колебаний [см. соотношение (36)] и полагая для простоты 𝑛=2 (что соответствует проведенным экспериментам), получаем

𝑟=𝑎+𝑏

cos 2θ cos 𝑘𝑧

+

𝑏²

6𝑎

cos 4θ cos 4𝑘𝑧

+

𝑏²

4𝑎

cos 4θ

-

-

𝑏²

8𝑎

cos 2𝑘𝑧

-

𝑏²

8𝑎

…

(77)

и

𝑘²

=

𝑇𝑖𝑘𝑎

𝐽

_'

²

(𝑖𝑘𝑎)

ρ𝑐²𝑎³ 𝐽

 

² (𝑖𝑘𝑎)

(3+𝑎²𝑘²)

⎧

⎪

⎩

1-

𝑙²

𝑘²

37

24

⎫

⎪

⎭

.

(78)

Формула (78) даёт искомую поправку к длине волны.

Из уравнения (77) можно сделать ещё некоторые заключения. Полагая 𝑧=0, получаем

𝑟=𝑎-

𝑏²

4𝑎

+𝑏 cos 2θ+

5

12

𝑏²

𝑎

cos 4θ+… .

(79)

Такой вид должно иметь уравнение границы отверстия, из которого вытекает струя, чтобы колебания были чисто периодическими (предполагается, что скорость в каждой точке сечения струи у отверстия одна и та же по величине и направлению). Отсюда видна ошибочность точки зрения П. О. Педерсена, согласно которой струя, вытекающая из отверстия с уравнением границы 𝑟=α+β cos 2θ, должна совершать колебания более близкие к чисто периодическим, чем струя из эллиптического отверстия (𝑟=α+β cos 2θ + 3/4⋅β²/α cos 4θ…).

Полагая θ=0, имеем

𝑟=𝑎

+

𝑏²

8𝑎

+𝑏 cos 𝑘𝑧

+

1

24

𝑏²

𝑎

cos 2𝑘𝑧

+…

(80)

Формула (80) представляет собой уравнение волнового профиля, получаемого при пересечении поверхности струи одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Максимальное и минимальное значения 𝑟 получаются из (80) соответственно при 𝑧=2π𝑛/𝑘 и 𝑧=(2𝑛+1)π/𝑘 Имеем

1

2

𝑟

_макс

+𝑟

_мин

=

𝑎

⎧

⎪

⎩

1+

1

6

𝑏²

𝑎²

⎫

⎪

⎭

;

1

2

𝑟

_макс

-𝑟

_мин

=

𝑏.

(81)

Эти формулы будут использоваться при измерениях струй.

УЧЁТ ВЛИЯНИЯ ОКРУЖАЮЩЕГО ВОЗДУХА

До сих пор мы пренебрегали плотностью воздуха ¹. Однако малая поправка к длине волны из-за инерции воздуха легко может быть получена с достаточной точностью из следующего расчёта, в котором рассматриваются бесконечно малые двумерные колебания цилиндрической поверхности, разделяющей две жидкости с различной плотностью.

¹ Рэлей (Rayleigh. Phil. Mag., 1892, XXXIV, 145) изучал соответствующую проблему в случае, когда при колебаниях сохраняется симметрия относительно оси жидкого цилиндра.

Считая жидкости невязкими, предположим существование потенциала скорости Φ. Полагая

Φ

=

ƒ(𝑟)

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑞𝑡}

получим уравнение

∂²ƒ

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂ƒ

∂𝑟

-

𝑛²

𝑟²

ƒ

=0,

из которого следует

ƒ(𝑟)

=

𝐴𝑟

^𝑛

-

𝐵𝑟

^-𝑛

.

Так как скорость должна быть конечной, как внутри, так и вне цилиндра, потенциал должен иметь вид

Φ

₁

=𝐴𝑟

^𝑛

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑞𝑡}

внутри цилиндра и

Φ

₂

=𝐵𝑟

^-𝑛

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑞𝑡}

вне цилиндра.

Пусть поверхность струи описывается уравнением

𝑟-𝑎

=ζ=

𝐶

𝑒

^{𝑖𝑛θ+𝑖𝑞𝑡}

При 𝑟=𝑎 должны удовлетворяться условия

∂ζ

∂𝑡

=-

∂Φ₁

∂𝑟

=-

∂Φ₂

∂𝑟

(82)

и

𝑝

₁

-𝑝

₂

=

𝑇

1

𝑅

.

(83)

Из равенств (82) получаем

𝐵=-𝐴𝑎

^2𝑛

;

𝐶=-𝑖𝐴

𝑛

𝑞

𝑎

^𝑛-1

,

а из равенства (83)

ρ

₁

∂Φ₁

∂𝑡

-

ρ

₂

∂Φ₂

∂𝑡

+

𝐹(𝑡)

=

𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

⎫

⎪

⎭

.

(84)

Подставляя в (84) значения Φ₁, Φ₂ и ζ, имеем

𝑞²

=

𝑇

ρ₁+ρ₂

𝑛³-𝑛

𝑎³

.

Итак, мы рассмотрели влияние на изучаемое явление таких факторов, как вязкость жидкости, величина амплитуды волны и инерция воздуха ¹. Складывая полученные результаты, получаем следующую формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения (мы полагаем 𝑛=2, как это имеет место в экспериментах):

𝑇

=

(ρ

₁

+ρ

₂

)

𝑘²𝑎³𝑐²

𝐽

 

²

(𝑖𝑎𝑘)

(3+𝑎²𝑘²) 𝑖𝑎𝑘 𝐽

_'

² (𝑖𝑎𝑘)

⎡

⎢

⎣

1+2

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘

⎫3/2

⎪

⎭

+

+3

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘

⎫2

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⎧

⎪

⎩

1+

37

24

𝑏²

𝑎²

⎫

⎪

⎭

.

(85)

¹ Все эти поправки следует считать аддитивными, так как можно показать, что и в случае наличия вязкости длина волны должна быть чётной функцией 𝑏/𝑎.

Прежде чем переходить к экспериментальной части исследования, мы рассмотрим ещё один вопрос, который может представить определённый интерес при дальнейшем обсуждении.

Этот вопрос состоит в том, что в экспериментально создаваемых струях скорость в середине струи следует считать большей, чем вблизи поверхности. Приведённый ниже способ позволяет оценить меру затухания этой разницы скоростей, происходящего вследствие вязкости жидкости. Рассмотрим жидкий круговой цилиндр, каждая часть которого движется параллельно его оси, причём скорости в разных частях зависят лишь от расстояния до оси цилиндра и от времени.

Принимая ось цилиндра за ось 𝑧, имеем в применявшихся ранее обозначениях

α=0, β=0, 𝑤=ƒ(𝑟,𝑡).

Из первых двух равенств следует ∂𝑝/∂𝑟=0; так как, далее, 𝑝=const при 𝑟=𝑎 имеем 𝑝=const.

Положим 𝑤=Φ(𝑟)𝑒^-ε𝑡; тогда уравнение движения

μ∇²𝑤

-

𝐷𝑤

𝐷𝑡

=

∂𝑝

∂𝑧

переходит в

∂²Φ

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂Φ

∂𝑟

+

ρε

μ

Φ

=0.

Решением последнего уравнения, удовлетворяющим условию ограниченности при 𝑟=0, является

Φ=𝐶𝐽

₀

(𝑘𝑟),

 причём

𝑘²=

ρε

μ

.

Динамическое условие на поверхности, (∂𝑑/∂𝑟)_𝑟=𝑎=0, требует, чтобы 𝑘 было корнем уравнения

𝐽

_'

⁰

(𝑘𝑎)

=0.

(Первыми четырьмя корнями этого уравнения являются 𝑘₀𝑎=0, 𝑘₁𝑎=π⋅1,2197, 𝑘₂𝑎=π⋅2,2330, 𝑘₃𝑎=π⋅3,2383.) Следовательно, общее выражение для 𝑤 имеет вид

𝑤=

∑

𝑐

_𝑛

𝐽

₀

(𝑘

_𝑛

𝑟)

𝑒

^-μ/ρ

𝑘

²

_𝑛

𝑡

.