Избранные научные труды. Том 1

Что касается более высоких приближений, то общее уравнение колебаний нельзя записать в каком-либо аналогичном виде, так как колебания различных типов являются независимыми лишь в первом приближении.

Теперь займёмся вычислением высших приближений для колебаний чисто периодического типа, для которых первое приближение имеет вид

Φ=𝐴𝑟

^𝑛

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,

ζ=

𝑛

𝑞

𝑎

^𝑛-1

𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)

,

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

.

(55)

ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Из (47) в (48) имеем

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑟

+ζ

∂²Φ

∂𝑟²

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0

(56)

и

ρ

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

+ζ

∂²Φ

∂𝑟∂𝑡

-

1

2

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

⎫²

⎪

⎭

-

1

2

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

-

-𝑇

⎡

⎢

⎣

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

+

ζ²

𝑎³

+

1

2𝑎³

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

+

2ζ

𝑎³

∂²ζ

∂θ²

⎤

⎥

⎦

+

𝐹(𝑡)=0

.

(57)

Подставляя значения (55) для Φ, ζ и 𝑞, получаем во втором приближении

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑟

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=-

𝑛²(2𝑛-1)

4𝑞

𝑎

^2𝑛-3

𝐴²cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

+

𝑛²

4𝑞

𝑎

^2𝑛-3

𝐴²sin 2𝑞𝑡

(58)

и

ρ

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

-𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

⎫

⎪

⎭

+

𝐹(𝑡)=

=-ρ

𝑛(2𝑛-1)(𝑛²+2𝑛-2)

8(𝑛²-1)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴²(cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡 + cos 2𝑛θ)

-

-ρ

𝑛(4𝑛³+3𝑛²-4𝑛-2)

8(𝑛²-1)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴² cos 2𝑛θ

-ρ

𝑛(3𝑛²-2)

8(𝑛²-1)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴²

.

(59)

Исключая ζ из равенств (58) и (59), находим

⎡

⎢

⎣

ρ

∂²Φ

∂𝑡²

-

𝑇

𝑎²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

+

∂³Φ

∂𝑟∂²θ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

+

𝐹'(𝑡)

=

=-ρ

3𝑞𝑛(𝑛-1)(2𝑛+1)

4(𝑛+1)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴² cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

+

ρ

4

𝑞𝑛(4𝑛+3)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴² sin 2𝑞𝑡

.

(60)

Полагая

𝐹'(𝑡)

=

ρ

4

𝑞𝑛(4𝑛+3)

𝑎

^2𝑛-2

𝐴² sin 2𝑞𝑡

,

мы видим, что уравнению (60) удовлетворяет функция

Φ=

𝐴𝑟

^𝑛

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

-

3𝑛(𝑛-1)²(2𝑛+1)

8(2𝑛²+1)𝑞𝑎²

𝐴²𝑟

^2𝑛

cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡,

(61)

где, как и в первом приближении,

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

.

(62)

Подставляя это в (58), получаем

∂ζ

∂𝑡

=-

𝑛𝑎

^𝑛-1

𝐴

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝐴²

𝑛²

4𝑞

2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4

2𝑛²+1

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

+

𝐴²

𝑛²

4𝑞

𝑎

^2𝑛-3

sin 2𝑞𝑡,

(63)

а из (63) имеем

ζ=-

𝑛

𝑞

𝐴

𝑎

^𝑛-1

cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡

-

-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4

2𝑛²+1

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

-

-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑞𝑡

+

ƒ(θ).

(64)

Подставляя в (59) найденные значения для Φ, 𝑞, ζ и 𝐹'(𝑡), имеем уравнение

ƒ(θ)

+

ƒ'(θ)

=-

𝐴

𝑛²

8𝑞²

(2𝑛+1)(𝑛²+2𝑛-2)

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ

+const,

которому удовлетворяет функция

ƒ(θ)

=

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑛²+2𝑛-2

2𝑛+1

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ

+𝐶.

(65)

Из условия (49) в этом случае получаем

𝐶=-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑎

^2𝑛-3

.

(66)

Формулы (64), (65) и (66) дают

ζ=

𝑛

𝑞

𝐴

𝑎

^𝑛-1

cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡

-

-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4

2𝑛-1

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

+

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑛²+2𝑛-2

2𝑛-1

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑛θ

-

-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑎

^2𝑛-3

cos 2𝑞𝑡

-

𝐴²

𝑛²

8𝑞²

𝑎

^2𝑛-3

 

.

(67)

ТРЕТЬЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Из уравнений (47) и (48) находим

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑟

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

+ζ

∂²Φ

∂𝑟²

+

ζ²

2

∂³Φ

∂𝑟³

+

+

2ζ

𝑟³

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

-

ζ

𝑟²

∂²Φ

∂𝑟∂θ

∂ζ

∂θ

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0

(68)

и

ρ

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

+ζ

∂²Φ

∂𝑟∂𝑡

+

ζ²

2

∂²Φ

∂𝑟²∂𝑡

-

1

2

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

⎫²

⎪

⎭

-

1

2𝑟²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

-

-ζ

∂²Φ

∂𝑟²

∂Φ

∂𝑟

-

ζ

𝑟²

∂²Φ

∂𝑟∂ζ

+

ζ

𝑟³

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

-

-𝑇

⎡

⎢

⎣

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

+

ζ²

𝑎³

+

1

2𝑎³

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

+

+

2ζ

𝑎³

∂²ζ

∂θ²

-

ζ³

𝑎⁴

-

3ζ

2𝑎⁴

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

-

3ζ

𝑎⁴

∂²ζ

∂θ²

+

3

2𝑎⁴

∂²ζ

∂θ²

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

+

𝐹(𝑡)=0

.

Подставляя сюда значения Φ, ζ и 𝑞 из формул (61), (62) и (67), получаем (чтобы не усложнять выкладки сверх необходимого, мы ограничимся вычислением лишь тех членов, которые дают вклад в изменение 𝑞)

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑟

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=

𝑛³(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)

32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

×

×

𝐴

³

𝑎

^3𝑛-5

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝑃

₁

cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

𝑃

₂

sin 2𝑞𝑡

+

𝑃

₃

cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡

+

+

𝑃

₄

cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

𝑃

₅

cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡

(70)

и

ρ

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

-𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑎

-

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

⎫

⎪

⎭

+

𝐹(𝑡)

=

=

-ρ

𝑛²(𝑛²-1)(40𝑛³-24𝑛²+65𝑛-30)

32𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

𝐴

³

𝑎

^3𝑛-5

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝑄

₁

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

𝑄

₂

cos 2𝑛θ

+

𝑄

₃

cos 2𝑞𝑡

+

𝑄

₄

+

+

𝑄

₅

cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡

+

𝑄

₆

cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡

+

𝑄

₇

cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡

(71)

Исключая ζ из соотношений (70) и (71), находим

⎡

⎢

⎣

ρ

∂²Φ

∂𝑡²

-

𝑆

𝑎²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

+

∂³Φ

∂𝑟∂θ²

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

+

𝐹'(𝑡)

=

=

-ρ

𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)

16𝑞²(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

𝐴

³

𝑎

^3𝑛-5

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝑆

₁

cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

𝑆

₂

sin 2𝑞𝑡

+

𝑆

₃

cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡

+

+

𝑆

₄

cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

𝑆

₅

cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡

(72)

Полагая 𝐹'(𝑡)=𝑆₂ sin 2𝑞𝑡, уравнению (72) можно удовлетворить при

𝑄=

𝐴𝑟

^𝑛

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

𝐴

₁

𝑟

^2𝑛

cos 2𝑛θ sin 2𝑞𝑡

+

+

𝐴

₂

𝑟

^3𝑛

cos 3𝑛θ sin 3𝑞𝑡

+

𝐴

₃

𝑟

^3𝑛

cos 3𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝐴

₄

𝑟

^𝑛

cos 𝑛θ sin 3𝑞𝑡

,

(73)

если

𝑞²

=

𝑇

𝑎³ρ

(𝑛³-𝑛)

⎡

⎢

⎣

1-

𝐴²

𝑎

^2𝑛-4

𝑛²(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)

16𝑞³(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

⎤

⎥

⎦

.

(74)

Продолжая вычисления таким же образом, как и во втором приближении, получаем

ζ=𝐴

𝑛

𝑞

𝑎

^𝑛-1

⎡

⎢

⎣

1-

𝐴²

𝑛²

𝑞²

𝑎

^2𝑛-4

(𝑛²-1)(28𝑛³-42𝑛²+35𝑛-6)

32(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

⎤

⎥

⎦

×

×

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡

+

+

𝐵

₁

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

𝐵

₂

cos 2𝑛θ

+

𝐵

₃

cos 2𝑞𝑡

+

𝐵

₄

+

+

𝐵

₅

cos 3𝑛θ cos 3𝑞𝑡

+

𝐵

₆

cos 3𝑛θ cos 𝑞𝑡

+

𝐵

₇

cos 𝑛θ cos 3𝑞𝑡

,

(75)

где коэффициенты 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃ и 𝐵₄ - те же, что и во втором приближении, а 𝐵₅, 𝐵₆ и 𝐵₇ — величины порядка 𝐴³.

Полагая коэффициент при cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡 в формуле (75) равным 𝑏, находим в результате всех вычислений, что уравнение поверхности цилиндра из жидкости, совершающего чисто периодические двумерные колебания, имеет вид

𝑟=𝑎+𝑏

cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡

+

𝑏²

𝑎

⎡

⎢

⎣

-

2𝑛³-7𝑛²-2𝑛+4

8(2𝑛²+1)

cos 2𝑛θ cos 2𝑞𝑡

+

+

𝑛²+2𝑛-2

8(2𝑛-1)

cos 2𝑛θ

-

1

8

cos 2𝑞𝑡

-

1

8

⎤

⎥

⎦

+

𝑏³

𝑎²

(…)+…

,

(76)

где

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

⎡

⎢

⎣

1-

𝑏²

𝑎²

(𝑛²-1)(34𝑛³-33𝑛²+50𝑛-18)

16(2𝑛²+1)(2𝑛-1)

+

+

𝑏⁴

𝑎⁴

(…)+…

⎤

⎥

⎦

.

В экспериментах струя обычно совершает стационарные колебания в трёх измерениях, так что сечение струи не одинаково во всех точках. Если, однако, скорость струи 𝑐 столь велика, что длина волны λ велика по сравнению с диаметром струи, то в каждом сечении движение будет очень мало отличаться от движения в двумерном случае, и тогда можно считать, что форма поверхности струи описывается уравнением (76).

Полное решение в трёхмерном случае можно записать в виде

𝑟=𝑎+𝑏

cos 𝑛θ cos 𝑘𝑧

+

+

𝑁

₁

𝑏²

𝑎

⎡

⎢

⎣

1+α

_1,1

⎧

⎪

⎩

𝑎

λ

⎫2

⎪

⎭

1+α

_1,2

⎧

⎪

⎩

𝑎

λ

⎫4

⎪

⎭

+…

⎤

⎥

⎦

cos 2𝑛θ cos 2𝑘𝑧

+

+

𝑁

₂

𝑏²

𝑎

⎡

⎢

⎣

1+α

_2,1

⎧

⎪

⎩

𝑎

λ

⎫2

⎪

⎭

+…

⎤

⎥

⎦

cos 2𝑛θ

+…

и

𝑘²

=

1

𝑐²

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

⎡

⎢

⎣

1+β

₁

⎧

⎪

⎩

𝑎

λ

⎫2

⎪

⎭

+β

₂

⎧

⎪

⎩

𝑎