Избранные научные труды. Том 1

Полагая в формуле (35) μ=0, получаем решение Рэлея

𝑏

2

0

=

𝑖𝑏𝑎 𝐽

'

_𝑛

(𝑖𝑎𝑏

₀

)

𝑝𝑐²𝑎³ 𝐽

_𝑛 (𝑖𝑎𝑏₀)

(𝑛²-1+𝑎²𝑏

2

0

)=

=

𝑏(𝑛³-𝑛)

𝑝𝑐²𝑎³

⎡

⎢

⎣

1+

(3𝑛-1)𝑎

²

𝑏

₂

⁰

2𝑛(𝑛

₂

  -1)

+

3(𝑛+3)𝑎

⁴

𝑏

₄

⁰

8𝑛(𝑛-1)(𝑛+1)

₂

  (𝑛+2)

+…

⎤

⎥

⎦

.

(36)

Положительный корень этого уравнения мы в дальнейшем будем обозначать через 𝑘₀.

Из соотношений (35) и (36) в используемом приближении получаем

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

⋅

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

⎡

⎢

⎣

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

₂

⁰

2𝑛(𝑛

₂

  -1)

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1+

𝑛-1

𝑎𝑑

+

(𝑛-1)(2𝑛-3)

2𝑎²𝑑²

⎤

⎥

⎦

-

-𝑘

₂

⁰

=0.

(37)

В пределах точности того же приближения можно подставить в (37), имея в виду (13),

𝑖𝑎𝑑

=

𝑖𝑎

⎧

⎪

⎩

𝑖𝑘

 

₀

𝑐ρ

μ

⎫½

⎪

⎭

=

(1-𝑖)

⎧

⎪

⎩

𝑎²𝑘₀𝑐ρ

μ

⎫½

⎪

⎭

,

где выбор знака определяется тем, чтобы вещественная часть 𝑖𝑎𝑑 была положительной [см. соотношение (30)]. При этом равенство (37) принимает вид

𝑏²-𝑖𝑏

μ

ρ

⋅

4𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

⎡

⎢

⎣

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

₂

⁰

2𝑛(𝑛

₂

  -1)

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1-(1-𝑖)

𝑛-1

2

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘₀

⎫½

⎪

⎭

-

-𝑖

(𝑛-1)(2𝑛-3)

4

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘₀

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

-𝑘

₂

⁰

=0.

(38)

Решая равенство (38) относительно 𝑏, получаем, полагая 𝑏=𝑘+𝑖ε,

𝑘=𝑘

₀

⎡

⎢

⎣

1-

𝑛(𝑛-1)²

2

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘₀

⎫

⎪

⎭

³/₂

-

3𝑛(𝑛-1)²

4

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘₀

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

(39)

и

ε=

μ

ρ

⋅

2𝑛(𝑛-1)

𝑎²𝑐

⎡

⎢

⎣

1+

(5𝑛+1)𝑎²𝑘

₂

⁰

2𝑛(𝑛

₂

  -1)

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

1-

𝑛-1

2

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘²₀

⎫½

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(40)

Все использовавшиеся уравнения были линейными, так что физический смысл проделанного расчёта состоит в доказательстве существования движения потока жидкости с поверхностью, описываемой уравнением

𝑟=𝑎+𝑏𝑒

^-ε𝑧

cos 𝑘𝑧 sin 𝑛θ,

где 𝑘 и ε определяются формулами (39) и (40).

Поправка на вязкость, которую следует ввести в силу поверхностного натяжения, может быть получена из формул (36) и (39); имеем

𝑇

=

𝑘²

ρ𝑐²𝑎³ 𝐽

 

^𝑛 (𝑖𝑎𝑘)

𝑖𝑎𝑘 𝐽

_'

^𝑛 (𝑖𝑎𝑘) (𝑛²-1+𝑎²𝑘²)

⎡

⎢

⎣

1+𝑛(𝑛-1)²

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘

⎫

⎪

⎭

³/₂

+

+

3𝑛(𝑛-1)²

2

⎧

⎪

⎩

2μ

ρ𝑐𝑎²𝑘

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

.

(41)

УЧЁТ ВЛИЯНИЯ КОНЕЧНОСТИ АМПЛИТУДЫ

Теперь мы вычислим поправку к длине волны, связанную с конечной величиной амплитуды волны. Мы используем приближённый метод, который в принципе был указан Стоксом ¹.

¹ G. G. Stokes. Camb. Trans., 1847, VIII, 441.

Последующий расчёт будет относиться к двумерным колебаниям цилиндрического потока жидкости без вязкости. Для трёхмерного случая задача может быть решена аналогичным способом, но расчёты при этом становятся весьма трудоёмкими и вряд ли имеют практическое значение с точки зрения целей настоящего исследования. Если ограничиться рассмотрением струй, диаметр которых мал по сравнению с длиной волны, то движение будет очень незначительно отличаться от двумерного, так что малая поправка к длине волны вследствие конечной величины амплитуды может считаться одинаковой в обоих случаях.

При решении задачи будет предполагаться существование потенциала скорости Φ. Используя полярные координаты и обозначая через α и β соответственно радиальную и тангенциальную составляющие скорости, имеем

α= -

∂Φ

∂𝑟

,

β= -

1

𝑟

∂Φ

∂θ

.

Считая жидкость несжимаемой, получаем

∂α

∂𝑟

+

α

𝑟

+

1

𝑟

∂β

∂θ

= -

⎧

⎪

⎩

∂²Φ

∂𝑟²

+

1

𝑟

∂Φ

∂𝑟

+

1

𝑟²

∂²Φ

∂θ²

⎫

⎪

⎭

=0.

(42)

Решение уравнения (42), удовлетворяющее условию конечности скорости при 𝑟=0, может быть записано в виде

Φ=

∑∑

𝐴

_𝑛,𝑞

𝑟

^𝑛

cos(𝑛θ+τ

_𝑛

)

sin(𝑞𝑡+ε

_𝑞

),

(43)

где 𝑛 — положительные целые числа.

Уравнение поверхности жидкости запишем в виде

𝑟=𝑎+ζ, ζ=ψ(θ,𝑡).

Условия на поверхности в указанных обозначениях имеют вид

𝐷

𝐷𝑡

(𝑎-ζ-𝑟)

=

⎧

⎪

⎩

∂

∂𝑡

+α

∂

∂𝑟

+

β

𝑟

∂

∂θ

⎫

⎪

⎭

(𝑎-ζ-𝑟)

 и

𝑝-

𝑇

𝑅

=0,

(44)

где 𝑅 — радиус кривизны поверхности.

Из равенства (44) находим

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂𝑡

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

+

∂Φ

∂𝑟

⎫

⎪

⎭

𝑟=𝑎+ζ

=0

(45)

и

ρ

⎧

⎨

⎩

∂Φ

∂𝑡

-

1

2

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

⎫²

⎪

⎭

+

1

𝑟²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝑟=𝑎+ζ

-𝑇

⎡

⎢

⎣

(𝑎+ζ)²+2

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

-

-

(𝑎+ζ)

∂²ζ

∂θ²

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(𝑎+ζ)²

+

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤-³/₂

⎥

⎦

+

𝐹(𝑡)

=0.

(46)

Рассматривая малые колебания поверхности около положения равновесия 𝑟=𝑎, будем считать ζ малой величиной первого порядка. Из соотношений (43), (45) и (46) видно, что при этом Φ должно быть величиной также первого порядка малости, если 𝐹(𝑡) определено таким образом, что Φ не содержит членов, не зависящих от 𝑟 или θ.

Из соотношений (45) и (46) получаем с помощью теоремы Тэйлора

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

⎧

⎪

⎩

1+ζ

∂

∂𝑟

+

ζ²

2

∂²

∂𝑟²

+…

⎫

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

-

1

𝑟²

∂Φ

∂θ

∂ζ

∂θ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0

(47)

и

ρ

⎧

⎨

⎩

⎧

⎪

⎩

1+ζ

∂

∂𝑟

+

ζ²

2

∂²

∂𝑟²

+…

⎫

⎪

⎭

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

-

1

2

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

⎫²

⎪

⎭

-

1

2𝑟²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭𝑟=𝑎

-

-𝑇

⎡

⎢

⎣

(𝑎+ζ)²+2

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

-

(𝑎+ζ)

∂²ζ

∂θ²

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

(𝑎+ζ)²

+

⎧

⎪

⎩

∂ζ

∂θ

⎫²

⎪

⎭

⎤-³/₂

⎥

⎦

+

𝐹(𝑡)

=0.

(48)

Из уравнений (43), (47) и (48) ζ может быть найдено с точностью до константы, которую можно определить из условия

2π

∫

0

𝑎+ζ

∫

0

𝑟𝑑𝑟𝑑θ

=

2π

∫

0

1

2

(𝑎+ζ)²𝑑θ

=

π𝑎².

(49)

ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Найдём решение задачи, пренебрегая всеми членами выше первого порядка малости. Из соотношений (47) и (48) имеем

∂ζ

∂𝑡

+

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑟

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

=0

(50)

и

ρ

⎡

⎢

⎣

∂Φ

∂𝑡

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

-𝑇

⎧

⎪

⎩

1

𝑎

+

ζ

𝑎²

-

1

𝑎²

∂²ζ

∂θ²

⎫

⎪

⎭

+

𝐹(𝑡)

=0.

(51)

Исключая ζ из равенств (50) и (51), получаем

⎡

⎢

⎣

ρ

∂²Φ

∂𝑡²

-

𝑇

𝑎²

⎧

⎪

⎩

∂Φ

∂𝑟

+

∂²Φ

∂𝑟∂²θ

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦𝑟=𝑎

+

𝐹'(𝑡)

=0.

(52)

Если 𝐹'(𝑡)=0, то уравнению (52) удовлетворяет функция

Φ=𝐴𝑟

^𝑛

cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,

 где

𝑞²

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛)

(53)

Подставляя это выражение в равенство (50), находим

∂ζ

∂𝑡

=-

𝑛𝑎

^𝑛-1

𝐴 cos 𝑛θ sin 𝑞𝑡,

ζ=

𝑛

𝑞

𝑎

^𝑛-1

𝐴 cos 𝑛θ cos 𝑞𝑡+ƒ(θ)

.

(54)

Уравнение (51) при подстановке выражений из (53) и (54) даёт соотношение

ƒ(θ)

+

ƒ''(θ)

=const,

которому удовлетворяет функция

ƒ(θ)=𝐶.

При этом из (49) следует, что

𝐶=0.

В первом приближении уравнение колебаний имеет следующий общий вид:

𝑟=𝑎+

∑

𝑏

_𝑛

cos(𝑛θ+τ

_𝑛

)

cos(𝑞

_𝑛

𝑡+ε

_𝑛

),

где

𝑞

2

𝑛

=

𝑇

ρ𝑎³

(𝑛³-𝑛).