Избранные научные труды. Том 2

где 𝐸 и 𝐽 — соответственно энергия и импульс, τ и λ — соответственно период колебания и длина волны. В этих формулах два упомянутых выше представления о свете, как и о материи, резко противостоят одно другому. В то время как энергия и импульс ассоциируются с понятием частицы и, следовательно, по классическим представлениям могут характеризоваться определёнными пространственно-временны́ми координатами, период колебаний и длина волны относятся к неограниченному в пространстве и времени цугу плоских гармонических волн. Только с помощью принципа суперпозиции можно установить связь с обычным способом описания. В самом деле, ограничение протяженности волновых полей в пространстве и времени всегда может рассматриваться как следствие интерференции группы элементарных гармонических волн. Де Бройль ³ показал, что переносная скорость объектов ^3a, которым сопоставляются волны, может быть представлена как раз с помощью так называемой групповой скорости волн. Пусть элементарная плоская волна имеет вид

³ L. de Вrоglie. Thèse. Paris, 1924.

^3a Точнее: индивидуальных объектов (в оригинале — individual). — Прим ред.

𝐴 cos 2π

(𝑡ν

-𝑥σ

_𝑥

-𝑦σ

_𝑦

-𝑧σ

_𝑧

+δ)

.

Здесь 𝐴 и δ — постоянные, определяющие соответственно амплитуду и фазу; величина ν=1/τ — частота колебаний, σ_𝑥, σ_𝑦, σ_𝑧 — волновые числа в направлении соответствующих осей координат (их можно рассматривать как векторные компоненты волнового числа σ=1/λ в направлении распространения); ν/σ — волновая, или фазовая, скорость; групповая же скорость определяется как 𝑑ν/𝑑σ. Согласно теории относительности, для частицы со скоростью 𝑣 имеем

𝐸

=

𝑣

𝑐²

𝐽

 и

𝑣𝑑𝐸

=

𝑑𝐽

,

где 𝑐 — скорость света. Следовательно, из соотношения (1) фазовая скорость равна 𝑐²/𝑣, а групповая скорость равна 𝑣. То обстоятельство, что, вообще говоря, фазовая скорость больше скорости света с, указывает сразу на символический характер этих рассуждений. В то же время возможность отождествления скорости частицы с групповой скоростью указывает на область применимости пространственно-временны́х представлений в квантовой теории. Здесь проявляется дополнительный характер описания, поскольку применение групп волн с необходимостью связано с отсутствием строгости в определении периода и длины волны, а следовательно, согласно соотношениям (1), и соответствующих величин энергии и импульса. Ограниченное волновое поле может быть представлено, строго говоря, только суперпозицией множества элементарных волн, соответствующих всевозможным значениям ν и σ_𝑥, σ_𝑦, σ_𝑧. Средняя разность этих значений для двух элементарных волн группы по порядку величины даётся в наиболее благоприятном случае условиями

Δ

𝑡

Δ

ν

=

Δ

𝑥

Δ

σ

_𝑥

=

Δ

𝑦

Δ

σ

_𝑦

=

Δ

𝑧

Δ

σ

_𝑧

=1,

где Δ𝑡, Δ𝑥, Δ𝑦, Δ𝑧 означают протяженность волнового поля во времени и в направлениях пространства, соответствующих координатным осям. Эти соотношения, известные из теории оптических инструментов, в особенности из исследований Рэлея разрешающей способности спектральных приборов, выражают условие, что цуги волн могут гаситься вследствие интерференции на пространственно-временны́х границах волнового поля. Эти соотношения могут рассматриваться так же как отсутствие фазы у группы в целом, в том же смысле, что и у элементарных волн.

Таким образом, из соотношений (1) находим

Δ

𝑡

Δ

𝐸

=

Δ

𝑥

Δ

𝐽

_𝑥

=

Δ

𝑦

Δ

𝐽

_𝑦

=

Δ

𝑧

Δ

𝐽

_𝑧

=ℎ;

(2)

эти соотношения дают максимально возможную точность определения энергии и импульса объекта, сопоставленного волновому полю. В общем случае условия приписания некоторых значений энергии и импульса волновому полю с помощью соотношений (1) будут гораздо менее благоприятными. Даже если структура группы волн соответствует вначале соотношениям (2), то с течением времени она будет испытывать такие изменения, что становится всё менее пригодной для представления объекта. Именно в этом обстоятельстве и лежит парадоксальность вопроса о природе света и материальных частиц. Ограниченность классических понятий, выражаемая соотношениями (2), кроме того, тесно связана с ограниченной применимостью классической механики, соответствующей в волновой теории материи геометрической оптике, в которой распространение волн изображается «лучами». Только в предельном случае таких «лучей» можно однозначно определить энергию и импульс на основе пространственно-временны́х представлений. Для общего определения этих понятий мы должны придерживаться непосредственно законов сохранения, рациональная формулировка которых составляет основную проблему символических методов, к которой мы обратимся ниже.