Избранные научные труды. Том 2

При определении положения с помощью оптических инструментов нужно помнить, что для образования изображения всегда требуется сходящийся пучок света. Обозначая через λ длину волны используемого излучения и через ε — так называемую числовую апертуру, т. е. синус половины угла сходимости, разрешающую способность микроскопа можно представить известным выражением λ/2ε. Даже если предмет освещается параллельным пучком света, так что импульс ℎ/λ падающего кванта известен по величине и направлению, конечное значение апертуры всё же будет мешать точному установлению отдачи, сопровождающей рассеяние. Даже если бы импульс частицы был точно известен до процесса рассеяния, сведения о компоненте импульса, параллельной фокальной плоскости, после наблюдения имели бы неопределённость, составляющую 2 εℎ/λ. Произведение наименьших неточностей, с которыми могут быть установлены пространственная координата и компонента импульса в определённом направлении, поэтому выражается как раз формулой (2). Вероятно, можно думать, что в оценке точности определения положения должна учитываться не только сходимость лучей, но и длина цуга волн, так как частица в течение конечного времени освещения может изменить свое положение. Однако ввиду того факта, что точное знание длины волны света не существенно для указанной выше оценки, легко видеть, что для любого значения апертуры цуг волн может быть выбран настолько коротким, чтобы можно было пренебречь изменением положения частицы за время наблюдения по сравнению с пределами точности определения положения, обусловленными конечной разрешающей способностью микроскопа.

При измерении импульса с помощью эффекта Допплера (с учётом эффекта Комптона) приходится пользоваться параллельным цугом волн. Однако для точности, с которой может быть измерено изменение длины волны рассеянного излучения, существенна протяженность цуга волн в направлении распространения. Если мы полагаем, что направления падающего и рассеянного излучений будут соответственно параллельны или противоположны направлению подлежащих измерению вектора положения и компонент импульса, то мерой точности определения скорости может считаться выражение 𝑐λ/2𝑙 где 𝑙 — длина цуга волн; при этом для простоты скорость света принята здесь большой по сравнению со скоростью частицы. Если 𝑚 — масса частицы, то неопределённость, связанная со значением импульса после наблюдения, равна 𝑐𝑚λ/2𝑙. В этом случае величина отдачи 2ℎ/λ достаточно хорошо определена и не приводит к заметной неопределённости в значении импульса частицы после наблюдения. В самом деле, общая теория эффекта Комптона позволяет рассчитать компоненты импульса в направлении излучения до и после отдачи по разности длин волн падающего и рассеянного излучений. Даже если бы начальные значения пространственных координат частицы были точно известны, наше знание положения после наблюдения будет содержать неопределённость. Действительно, вследствие невозможности приписать отдаче точный момент времени, мы знаем среднюю скорость в направлении наблюдения в течение процесса рассеяния только с точностью 2ℎ/𝑚λ Следовательно, неопределённость положения после наблюдения достигает 2ℎ𝑙/𝑚λ. И здесь произведение неточностей в измерении положения и импульса выражается, таким образом, общей формулой (2).

Так же как в случае определения положения, длительность процесса наблюдения при измерении импульса может быть сделана сколь угодно короткой, если только пользоваться излучением достаточно короткой длины волны. Тот факт, что отдача становится тогда больше, как мы видели, не влияет на точность измерения. Следует отметить далее, что, говоря неоднократно о скорости частицы, мы имели в виду в данном случае только связь с обычным пространственно-временны́м описанием. Как уже явствует из упомянутых выше соображений де Бройля, понятием скорости в квантовой теории надо пользоваться с осторожностью. Мы увидим также, что однозначное определение этого понятия исключается и квантовым постулатом; это следует особенно помнить при сравнении результатов последовательных наблюдений. В самом деле, положение некоторого объекта в два заданных момента времени может быть измерено с любой желаемой точностью; но если из таких измерений мы хотим обычным путём рассчитать скорость объекта, то мы должны ясно представлять себе, что мы имеем дело с некоторой абстракцией, из которой нельзя получить никакой однозначной информации о прошлом или будущем поведении объекта.