Изложение системы мира

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения системы тел привело к открытию нескольких весьма полезных принципов механики, являющихся развитием тех, которые были нами представлены при описании движения точки во II главе этой книги.

Материальная точка движется равномерно по прямой, если она не испытывает посторонних воздействий. В системе тел, действующих друг на друга, но не подверженных действию внешних сил, общий центр тяжести движется равномерно по прямой, и его движение таково, как если бы все тела были сосредоточены в этой точке и все силы, увлекающие их, непосредственно приложены к ней, так что направление и величины их равнодействующей остаются постоянно неизменными.

Мы видели, что радиус-вектор тела, подверженного действию силы, направленной к неподвижной точке, описывает площади, пропорциональные времени. Если предположить, что система тел, действующих друг на друга каким-либо способом, подвержена действию силы, направленной к неподвижной точке, и если из этой точки к каждому из тел провести радиус-вектор и спроектировать их на неизменную плоскость, проходящую через эту точку, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора, пропорциональна времени. В этом состоит принцип сохранения площадей.

Если нет неподвижной точки, притягивающей систему, или она подвержена только взаимному действию её частей, за начало радиусов-векторов можно взять любую точку.

Произведение массы тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора за единицу времени, равно проекции полной силы этого тела, умноженной на перпендикуляр, опущенный из неподвижной точки на направление спроектированной таким способом силы. Это последнее произведение представляет момент силы, вращающей систему вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекции и проходящей через неподвижную точку. Итак, принцип сохранения площадей сводится к тому, что сумма окончательных сил, вращающих систему вокруг какой-либо оси, проходящей через неподвижную точку, в состоянии равновесия равная нулю, постоянна в состоянии движения. Представленный таким способом этот принцип подходит для всех возможных законов, которые могли бы связывать силу и скорость.

Живой силой системы называют сумму произведений массы каждого тела на квадрат его скорости. Когда тело движется по кривой или по поверхности, не испытывая действия посторонних сил, его живая сила всё время остаётся постоянной, так как постоянна его скорость. Если тела системы не испытывают других взаимодействий, кроме их взаимного притяжения и давления либо непосредственно, либо посредством нерастяжимых и не упругих стержней и нитей, живая сила системы постоянна даже в том случае, если некоторые из её тел принуждены двигаться по кривым линиям и поверхностям. Этот принцип, названный принципом сохранения живых сил, распространяется на все возможные законы, связывающие силу и скорость, если под живой силой тела понимать удвоенный интеграл произведения его скорости на дифференциал приложенной к нему конечной силы.

При движении тела, побуждаемого какими-либо силами, изменение живой силы равно удвоенному произведению массы тела на сумму ускоряющих сил, умноженных, соответственно, на величины элементарных перемещений тела в направлении к началам этих сил. В движении системы тел удвоенная сумма всех этих произведений равна изменению живой силы системы.

Представим себе, что при движении системы все тела под влиянием приложенных к ним ускоряющих сил в одно и то же время приходят в положение равновесия. Изменение живой силы, по принципу возможных скоростей, будет равно нулю. Поэтому живая сила тогда будет максимальна или минимальна. Если бы система двигалась лишь посредством простых колебаний только одного вида, тела, выходя из положения равновесия, стремились бы к нему вернуться, если равновесие — устойчивое. Их скорости уменьшались бы по мере удаления от этого положения, и, следовательно, в этом положении живая сила имела бы максимум. Но если равновесие неустойчивое, тела, отдалившись от него, стремились бы удалиться ещё дальше, их скорости возрастали бы и живая сила была бы в этом случае минимальна. Отсюда можно заключить, что если живая сила постоянно максимальна, когда все тела системы приходят в состояние равновесия одновременно, то, какова бы ни была их скорость, равновесие устойчиво. И наоборот, как абсолютная, так и относительная устойчивость отсутствуют, если живая сила в этом положении минимальна.