Изложение системы мира

Наконец, мы видели во II главе, что сумма интегралов произведений каждой конечной силы системы на элемент её направления, сумма, которая в состоянии равновесия равна нулю, в состоянии движения становится минимальной. В этом состоит принцип наименьшего действия, отличающийся от принципов равномерного движения центра тяжести, сохранения площадей и сохранения живых сил тем, что эти принципы суть истинные интегралы дифференциальных уравнений движения тел, тогда как принцип наименьшего действия — особое сочетание этих самых уравнений.

Так как конечная сила тела есть произведение его массы на скорость, а скорость, умноженная на путь, пройденный за элемент времени, равна произведению этого элемента на квадрат скорости, то принцип наименьшего действия может быть выражен следующим образом.

Интеграл живой силы, умноженный на элемент времени, минимален. Таким образом, истинная экономия природы сводится к экономии живой силы. Эту экономию нужно иметь в виду при конструировании машин, которые тем совершеннее, чем меньшую живую силу они затрачивают для производства определённого действия. Если тела не подчинены никакой ускоряющей силе, живая сила системы постоянна. Поэтому система переходит от одного положения к любому другому за кратчайшее время.

О применимости этих принципов надо сделать важное замечание. Принцип равномерного движения центра тяжести и принцип сохранения площадей остаются в силе даже в случае, если из-за взаимного действия тел возникают резкие изменения в их движениях, и это делает эти принципы очень полезными при многих обстоятельствах. Что же касается принципа сохранения живых сил и принципа наименьшего действия, то они предусматривают, чтобы изменения в движении системы происходили постепенно, неощутимыми переходами.

Если система подвергается резким изменениям под влиянием взаимного действия тел или при встрече с препятствиями, живая сила при каждом таком изменении претерпевает уменьшение, равное сумме произведений каждого тела на квадрат его утраченной скорости; если представить себе, что его скорость, существовавшая до этого времени, разложена на две, из которых одна — остаётся, а другая — уничтожается, то квадрат этой последней, очевидно, равен сумме квадратов отклонений, претерпеваемых в результате этого изменения скорости, разложенной параллельно трём каким-либо взаимно перпендикулярным осям.

Все эти принципы остаются в силе и при относительном движении тел системы, если она увлекается общим движением вместе с центрами сил, которые мы раньше предполагали неподвижными. Эти принципы сохраняются также при относительных движениях тел на Земле, так как невозможно, как мы уже видели, судить об абсолютном движении системы тел единственно только по видимым проявлениям её относительного движения.

Каковы бы ни были движения системы и изменения, испытываемые ею под влиянием взаимных действий отдельных её частей, сумма произведений массы каждого тела на площадь, описанную проекцией его радиуса-вектора вокруг общего центра тяжести на плоскости, проходящей через этот центр и всегда остающейся параллельной самой себе, постоянна. Плоскость, на которой эта сумма максимальна, сохраняет параллельное самой себе положение при движении системы. Эта же сумма равна нулю по отношению ко всем плоскостям, проходящим через центр тяжести перпендикулярно плоскости, о которой шла речь. Квадраты трёх таких сумм, относящиеся к трём взаимно перпендикулярным плоскостям, проходящим через центр тяжести, равны квадрату вышеупомянутой максимальной суммы. Плоскость, соответствующая этой сумме, имеет ещё то замечательное свойство, что сумма проекций площадей, описанных телами вокруг друг друга и умноженных, соответственно, на произведение масс каждых двух тел, соединённых радиусом-вектором, максимальна на этой плоскости и на всех других, параллельных ей. Поэтому во всякий момент можно найти плоскость, которая, проходя через какую-либо из точек системы, всегда сохраняет параллельное положение. Но поскольку две из произвольных постоянных этого движения исчезают, если движение тел отнести к этой плоскости, то естественно выбрать её в качестве плоскости координат и их начало поместить в центр тяжести системы.

Книга четвёртая О ТЕОРИИ ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Выдумки мнений день уничтожает,

А суждения природы подтверждает.

Цицерон. О природе богов.