Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Пенроуз — выдающийся ученый. У него высочайшая математическая подготовка, и ему удалось сделать заметный вклад в современную математическую мысль. Но в последние десятилетия его главные работы относились к теоретической физике. Он близко знаком со Стивеном Хокингом. Пенроуз обладает обширными познаниями в разных областях науки, и его глубокая эрудиция проявляется в книге.

Если попытаться выразить его мысль как можно проще, Пенроуз в своей книге говорит о том, что компьютер может только выполнять процедуру, заданную алгоритмом, как правило, компьютерной программой. А математик, например, приходит к математическим истинам, руководствуясь вдохновением, интуицией и даже верой. Эти ментальные действия невозможно алгоритмизировать. Пенроуз мог бы пойти дальше и указать, что создание произведения искусства — в поэзии, музыке, литературе, скульптуре, танцах или живописи — не происходит по алгоритму, а эвристически, с опорой на жизненный опыт творца.

Интеллектуальное, академическое воплощение тезиса о том, что машины могут, или однажды смогут думать, — этот предмет называется «искусственным интеллектом» или ИИ. ИИ в наших университетах ввели только лет сорок назад — в основном благодаря поддержке военных. Понятно, что военные лидеры, которые должны помнить о вооружении и боевых действиях, хотели бы иметь машину, которая может оценить ситуацию на поле боя и определить, как развернуть войска или куда направить вооружение. Они хотели бы иметь машину, которая может строить оптимальные стратегии бомбардировки. Многие годы (начиная с дней сэра Уолтера Рэлея) наводка и расположение артиллерии — один из важнейших источников задач математического анализа, для построения вычислительных машин и развития определенных ветвей математики (таких как сферическая геометрия и геодезия). В наше время все усложнилось и потребности технологии невразумительны.

Можно сказать, и это часто делают скептики и пессимисты, что в области ИИ мало чего удалось достичь. Да, конечно же, у нас есть зачаточные роботы. Есть машины, которые могут ходить по комнате, не наталкиваясь на мебель. Есть «роботы», которые могут пропылесосить вашу гостиную или выкосить ваш газон. На современном производстве монотонные работы, которые раньше выполнялись на конвейерной линии, сейчас выполняются роботами. Но робота, который умеет завязывать шнурки, еще не создали.

ИИ повлиял на некоторые другие области, которые играют заметную роль в современных теоретических компьютерных науках; одна из них — «экспертные системы». Но сегодня нет, и в обозримом будущем не появится, машин, которые могут думать.

Рассуждение, в которое нас вовлекает Роджер Пенроуз, довольно изощренное. Если подходить как математик, вначале нужно определить, что значит «мыслить». Естественно здесь рассматривать вопросы о теореме Гёделя о неполноте и машине Тьюринга. Тезис Чёрча — почтенная установка современной логики — гласит, что любая эффективно вычислимая функция рекурсивна. Что это означает? Рекурсивная функция — и в этом важная идея Курта Гёделя — это функция, которая строится на основе нескольких самых основных шагов, которые может выполнить машина. Существует техническое, точное математическое определение рекурсивной функции, и его можно найти в учебниках, например [WOLF] и [KRA4]. Довольно сложно объяснить, чем же рекурсивная функция эффективно является — большая часть современного представления о тезисе Черча касается построения правильного определения этого понятия. Грубо говоря, эффективно вычислимая функция — та, значения которой может найти машина. В основании тезиса Чёрча лежит интуитивное представление о том, что любая «эффективно вычислимая функция» должна сводиться к простым алгоритмизуемым шагам. Поэтому она должна быть рекурсивной.

Один подход, который мы здесь рассмотрим, заключается в том, что любая эффективно вычислимая функция или любая процедура машины Тьюринга — это пример человеческой мысли. Ясно, что по своему определению это такая операция, которая может быть выполнена компьютером. Но Пенроуз убеждает нас, что это крайне ограниченное представление о том, чем в действительности является человеческая мысль. «Девятая симфония», «Война и мир» и даже само изобретение компьютера никогда не смогли бы осуществиться только в результате механизированного или процедурного мышления. Творческая мысль не рождается алгоритмами.