Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Развитие теории фракталов — замечательное явление в современной математике. Созданная в 1982 г. Бенуа Мандельбротом (1924–2010) геометрия фракталов стала еще одной моделью для постижения нашего мира. Изображения фракталов вы видите на рис. 11.11–11.13. Последний представляет собой знаменитое множество Мандельброта. Свою нашумевшую книгу [MAN1] Мандельброт начинает замечанием о том, что

облака — это не сферы, горы — не конусы, побережья — не дуги окружностей, кора деревьев не гладкая, а молния в небесах не вычерчивает прямую линию.

Рис. 11.11. Первый фрактал

Рис. 11.12. Второй фрактал

Объекты природы очень сложны. Как правило, границы их извилисты до крайности. Геометрическое явление — предмет изысканий Мандельброта — заключается в том, что если взять кусочек объекта и раздуть (растянуть его), то он будет выглядеть так, как и прежде (см. рис. 11.14).

Рис. 11.13. Множество Мандельброта

Рис. 11.14. Масштабирование фрактала

Фракталы

Фрактал — это геометрический объект, обладающий некоторыми свойствами самоподобия. Если увеличить часть фрактала, то получится изоморфное изображение исходного объекта. Изобретение фракталов обычно приписывают Бенуа Мандельброту. У многих фракталов дробная размерность, что только добавляет им мистичности. Благодаря математику Джону Хаббарду у нас есть прекрасная возможность получать на компьютере цветные изображения различных фракталов. К фракталам прибегают для моделирования различных понятий физики и приложений. Их часто используют для обнаружения изъянов в структурах и для построения изображений. Фракталы изменили наш взгляд на математику и физику мира. Геометрия фракталов — это целая индустрия; их используют для создания противошумных фильтров, алгоритмов сжатия изображений и анализа инвестиционных стратегий.

Мандельброт не просто изобрел новую ветвь математики (а вот множество Мандельброта на самом деле изобрел не он, оно появилось ранее в работе [BRM]). Он считает, что создал новый способ заниматься математикой, и вволю потешается над традиционными математиками (которые придерживаются традиционного стиля в математике, см. [MAN2]). Новая методология Мандельброта в чем-то напоминает Вольфрамово изучение клеточных автоматов и феноменологична по сути. Как правило, фрактальные геометры не формулируют и не доказывают теорем. Вместо этого они создают компьютерные графические изображения, описывают их и делают на их основе выводы.

Нетрудно догадаться, что геометрия фракталов чрезвычайно популярна среди любителей математики и математически подкованных учителей. Дилетанты любят фракталы, потому что в этой теме ощущают причастность к современной математике, к исследованиям на переднем крае науки. Учителя любят фракталы потому, что получают возможность показать ученикам настоящую современную математику, просто демонстрируя картинки и комментируя их. Много лет Мандельброт (служащий IBM) олицетворял исследования в этой компании. В своих рекламных роликах IBM гордо показывала нам Мандельброта и рисунки фракталов. И IBM за это вознаградила Мандельброта, предоставив свои финансовые мощности, чтобы Мандельброт получил место преподавателя в Йельском университете, и престижную премию Барнарда — не говоря о прочем.

Надо сказать, что в некоторых областях математики и естественных наук фракталы чрезвычайно полезны. Физики все время ищут новые модели природы, а фракталы дают новый язык для формулирования законов нашего мира. В некоторых важнейших физических журналах больше половины представленных статей посвящены фракталам. В Австралии статистики используют фракталы для моделирования полупроницаемых мембран. Сам Мандельброт прибегал к околофрактальным идеям, работая для AT&T над задачей снижения шумов.

Фрактальная геометрия — это и новый способ описания формы, и новый способ размышлять о математике. Она не вписывается в Евклидову парадигму теорем и доказательств. Фактически она олицетворяет новый экспериментальный подход к математике, дополняющий более известные и традиционные методологии.

11.6 Роджер Пенроуз и «Новый ум короля»

Как-то раз в середине 1980-х гг. известный британский физик Роджер Пенроуз из Оксфордского университета смотрел по телевизору захватывающую передачу об искусственном интеллекте. Речь шла о том, что скоро машина сможет мыслить как человек. Пенроуза чуть не хватил удар, он завелся не на шутку, отложил все свои исследовательские проекты и решил написать книгу, в которой опровергнет все, что услышал в этой передаче. В результате появился «Новый ум короля» [PEN1], — книга, повлиявшая на современные представления о мышлении. Она сразу стала бестселлером, несмотря на то что технически очень сложна и не каждый университетский профессор может до конца разобраться в ней.