Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Работы Виноградова (1891–1983) в 1937 г. и Теодора Эстерманна (1902–1991) в 1938 г. показали, что в виде суммы двух простых можно представить почти все четные числа (в том смысле, что доля четных чисел, представимых в виде суммы двух простых, стремится к 1). В 1930 г. Лев Шнирельман доказал, что любое четное число можно представить в виде суммы не более чем 300000 простых. Этот результат постепенно улучшали различные авторы; наилучший известный на сегодня результат получен в 1985 г. Оливье Рамаром и гласит, что каждое четное число можно представить в виде суммы не более чем шести простых. А если бы удалось доказать слабую гипотезу Гольдбаха, из нее немедленно следовало бы, что любое четное число представимо в виде суммы не более чем четырех простых слагаемых.

Метод, который обычно используется для работы с гипотезой Гольдбаха, называется решетом Эратосфена; он восходит к работам Эратосфена (276–194 до н. э.). Эратосфену было интересно найти все простые числа. В числовом ряду они не образуют никакой закономерности, похоже, что они распределены среди целых чисел случайно (и этот факт был бы одним из следствий гипотезы Римана).

Эратосфен, как это было принято у древних греков, был очарован простыми числами. Он родился на севере Африки, в Ливийской Кирене. Его учителями были Лизаниас Киренский и Аристон Хиосский. Последний привлек его в философскую школу стоиков. Около 240 г. до н. э. Эратосфен стал третьим библиотекарем великой александрийской библиотеки (позднее ее разрушили дикие орды). Одна из важнейших работ Эратосфена — Platonicus — трактат, объясняющий математику, лежащую в основе «Республики» Платона.

Чтобы составить список всех простых чисел, Эратосфен придумал решето, — метод, который до сих пор используется при работе с гипотезой Гольдбаха. Вот в чем суть метода.

Составим таблицу натуральных чисел.

Начнем с того, что вычеркнем единицу. Потом вычеркнем все числа, кратные двум (но не саму двойку):

Продолжаем — теперь вычеркиваем все кратные числа 3 (но не саму тройку):

Видно, что среди вычеркнутых чисел простых нет — они делятся или на два, или на три, или на два и три одновременно. Теперь будем вычеркивать числа, которые делятся на 5 (интересно, почему мы пропустили 4?), кроме самого числа 5. Вот что получается:

И еще разочек, теперь будем вычеркивать числа, кратные 7, кроме самого числа 7 (6 можно спокойно пропустить; почему?).

Ну, и для чего все это было нужно? Оставшиеся (незачеркнутые) числа не кратны ни 2, ни 3, ни 5, ни 7. Если процесс продолжать неограниченно долго, то оставшиеся числа будут не кратны вообще ничему, кроме себя. Все это простые числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 …

И так далее. Ни одного простого числа мы не пропустили. Решето Эратосфена находит их все до единого.

Здесь можно поставить очень интересные вопросы. Мы замечаем, что в нашем списке встречаются пары «соседних» простых чисел, отличающихся на 2:

{3, 5}, {5, 7}, {11, 13}, {17, 19}, {29, 31}, {41, 43}, {71, 73}.

Сколько всего таких пар? Может ли их быть бесконечно много? На сегодняшний день ответ на этот вопрос неизвестен. Никому.

Вот еще одна старинная задача. Правда ли, что в списке простых чисел можно найти сколь угодно длинные арифметические прогрессии? (В арифметической прогрессии числа располагаются на равных расстояниях одно за другим.) Например, 3, 5, 7 — это список простых чисел, причем расстояние между соседними всегда одно и то же (здесь 2). Между числами 41, 47, 53, 59 тоже одинаковые расстояния (они равны 6). Только в 2004 г. Грину и Тао удалось доказать, что среди простых чисел можно выделить сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

А вот вопрос вопросов: сколько всего простых чисел? Может быть, 100? Или 1000000? Еще Евклид показал, что их бесконечно много, в этой книге мы эту задачу уже обсуждали (см. разд. 2.3).

Итак, решето Эратосфена — это систематичный метод вычеркивания элементов множества натуральных чисел так, что остаются только те, что мы ищем. Многие известные попытки доказать гипотезу Гольдбаха так или иначе опирались на решето. Хотя эта задача не настолько ключевая или важная, как гипотеза Римана, она привлекает значительное внимание. Даже такие маститые ученые как Брун, Радемахер, Виноградов, Чен, Хуа, Бомбьери и Иванич работали над гипотезами Гольдбаха и простых близнецов (ее мы обсудим в следующем разделе). Возможно, методы, изобретенные для решения этих задач, важнее самих задач.

11.3 Гипотеза простых близнецов

Гипотеза простых близнецов — еще одна неподатливая задача, суть которой доступна всем без исключения. Простыми близнецами мы называем пару простых чисел, разность между которыми равна ровно 2. Среди простых близнецов назовем