Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Бернхард Риман (1826–1866) — один из настоящих гениев в математике XIX в. Он прожил всего 39 лет, бедность и плохое здоровье его доконали. Всю свою жизнь он с трудом сводил концы с концами и только под конец, уже смертельно больным, получил должность профессора. А глубокое математическое наследие Римана до сих пор оказывает глубокое влияние.

Когда Риман сдавал устный экзамен в Геттингене, Карл Фридрих Гаусс предложил ему рассказать о геометрии. Даже на нетерпеливого и заносчивого Гаусса Риману удалось произвести впечатление; он совершенно по-новому подошел к предмету. Учитывая работы Бойяи (1802–1860) и Лобачевского (1793–1856) по неевклидовой геометрии, Риман предложил стратегическую программу построения на многообразиях и поверхностях таких геометрий, которые бы сохраняли хорошо знакомые всем ключевые черты евклидовой геометрии, но были бы приспособлены к особенностям своих пространств. Подход Римана к геометрии интенсивно изучается и сегодня.

У него были широкие математические интересы. В анализе он определил наиболее широко распространенный интеграл. Он сделал глубокий вклад в теорию тригонометрических рядов и рядов Фурье. Он добился фундаментального прогресса в теории комплексной переменной. В своей основополагающей работе [RIE] о количестве простых чисел, меньших заданной величины, Риман развил некоторые ключевые идеи о распределении простых чисел. Напомним, что простыми называют положительные целые числа, которые делятся только на себя и единицу. По традиции ее не считают простым числом. Запишем несколько первых простых чисел:

Основная теорема арифметики гласит, что каждое положительное целое число единственным образом раскладывается в произведение простых. Например,

Ясно, что простые числа — это кирпичики всех наших знаний о натуральных числах. На простых числах основаны ключевые идеи современной криптографии. На них же базируются многие идеи в области сжатия изображений и обработки сигналов. И один из важнейших вопросов — как распределены простые числа.

Гаусс в молодости изучал таблицы простых чисел. Эти таблицы занимали целые страницы и содержали тысячи простых чисел. На основании своих наблюдений Гаусс высказал гипотезу. Для любого натурального числа n обозначим π(n) количество простых чисел, которые не больше n. Например, π(50)=15, так как до 50 встречается всего 15 простых чисел:

Дальше, π(100)=25, потому что после 50 встречаются еще такие простые числа:

Гаусс предположил, что для больших n значение π(n) примерно равно n/log n. Существовала и уточненная версия гипотезы Гаусса, она гласит, что предел отношения

при n, стремящемся к бесконечности, равен 1.

Гауссу не удалось доказать свою гипотезу, но он был убежден в ее истинности. В конце концов, эта так называемая теорема о простых числах была доказана в 1896 г. (независимо друг от друга) Жаком Адамаром (1865–1963) и Шарлем Валле Пуссеном (1866–1962). Их доказательство замечательно тем, что глубоко опирается на комплексный анализ (эта область далека от теории чисел и по форме, и по стилю). Центральную роль в их работе над теоремой о простых числах сыграла знаменитая дзета-функция Бернхарда Римана.

Риман ввел ее в упоминавшейся уже статье О количестве простых чисел, меньших заданной величины. Это аналитическая функция комплексной переменной, которая определена как сумма бесконечного ряда

Один из первых результатов, доказанных Риманом об этой функции, и заключался в том, что она тесно связана с количеством простых чисел. И Риман высказал гипотезу о том, что ему известно расположение всех нулей функции (точек, где она обращается в нуль). Эта информация крайне важна для изучения распределения простых чисел. Знаменитая гипотеза Римана, возможно, самая важная нерешенная задача современной математики, относится к расположению нулей дзета-функции Римана. Гипотеза заключается в том, что за исключением нескольких явных и неинтересных нулей, которые Риман нашел на множестве отрицательных целых чисел, все остальные нули (а их бесконечно много) расположены на критической прямой — на декартовой плоскости эта прямая задается уравнением (см. рис. 11.1). Г. Х. Харди (1877–1947) смог показать, что действительно на критической прямой расположено бесконечно много нулей.

Рис. 11.1. Критическая прямая

Известно, что все нули дзета-функции (за исключением тривиальных на отрицательной части действительной оси, как мы уже отмечали) лежат в критической полосе, которая представляет собой множество комплексных чисел, действительная часть которых лежит в промежутке от 0 до 1 (см. рис. 11.2). Вопрос в том, действительно ли эти нули из критической полосы все оказываются на критической прямой. Брайан Конри из Американского математического института доказал[117], что на критической прямой лежит не менее корней функции Римана.

Рис. 11.2. Критическая полоса