Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В апреле 2003 г. Перельман прочел ряд лекций в первоклассных американских университетах, включая MIT (альма-матер многих выдающихся специалистов), SUNY at Stony Brook, Нью-Йоркский и Колумбийский. Возникло довольно сильное впечатление, что люди стали очень серьезно воспринимать программу Перельмана. В июле того же года Перельман обнародовал третью статью «Конечное время вырождения для решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях» [PER3]. Эта статья давала упрощенный вариант доказательства одной части программы геометризации; этого результата достаточно, чтобы вывести истинность гипотезы Пуанкаре.

Можно сравнить девятимесячный период жизни Перельмана с ноября 2002 г. по июль 2003 г. с «чудесным годом» (1905 г.) Альберта Эйнштейна, на протяжении которого он опубликовал четыре статьи, полностью изменившие современную физику. В одной из этих статей Эйнштейн ввел специальную теорию относительности почти мимоходом[115], но потребовалось несколько лет, чтобы эта идея получила признание. Именно эти четыре статьи положили начало всему. Так и с Перельманом. Его три статьи возвестили, что поток Риччи для размерности 3 укрощен. Можно доказать утверждения «программы геометризации» Тёрстона, а значит, можно доказать гипотезу Пуанкаре.

Надо подчеркнуть, что три статьи Перельмана наполнены оригинальными захватывающими идеями. Но написаны они довольно неформально. И Перельман не планировал публиковать их. Они размещены в Интернете на сервере препринтов arXiv (см. разд. 8.3) и там хранятся до сих пор. Им не суждено удостоиться реферирования, по крайней мере, сколь бы то ни было официально. Так что дело за математическим сообществом — оценить, что предлагают эти статьи и насколько они вписываются в картину современной математики. Приятное неформальное обсуждение гипотезы Пуанкаре и вклада Перельмана можно найти в [STRZ].

Очень редко мы встречаем в математике тот уровень воодушевления и интенсивной деятельности, к которым привели три статьи Перельмана. По всему миру прошли конференции. Высоко почитаемый Математический институт Клэя (Кембридж, Массачусетс) профинансировал работу двух математиков (Брюса Кляйнера и Джона Лотта) в Мичиганском университете, чтобы они развили идеи Перельмана и построили подробное проверяемое доказательство программы геометризации. Еще два выдающихся математика (Джон Морган из Колумбии и Ган Тян из Принстона, тоже при поддержке института Клэя) потратили много времени и усилий, чтобы записать все детали программы Перельмана для гипотезы Пуанкаре. Их книга [MOT] уже вышла из печати.

Во всей этой истории есть несколько необычных штрихов, которые требуют пояснений. Как мы уже выше обсуждали, Математический институт Клэя (см. разд. 9.2) предложил награду в миллион долларов за решение любой из семи ключевых задач современной математики. Гипотеза Пуанкаре — одна из них, и Перельман в каком-то смысле ее доказал. Это единственный человек, который может претендовать на одну из премий Клэя. Все это очень здорово.

Но есть здесь тонкости. Перельман не играет по правилам премии института Клэя. Во-первых, он не опубликовал ни одну из трех статей.

Свою революционную работу о гипотезе Пуанкаре и программе геометризации Тёрстона он засунул в arXiv и никуда более. Он и не намерен публиковать свои работы в традиционном виде. Поэтому никто их не реферирует и не дает отзывы. Да и сами статьи, как ни грустно об этом говорить, написаны вовсе не в том строгом, жестком, «пленных не берем» стиле, как это принято в математике. Они написаны неформально и вольно, некоторые детали приходится принимать на веру.

Сам Перельман — несмотря на привлекательные предложения от математических кафедр лучших университетов США — вернулся в С.-Петербург, чтобы позаботиться о матери. Он не склонен к общению и обычно не отвечает на письма. Похоже, что его позиция такова: он сделал свою работу, записал и распространил ее результаты и больше ему добавить нечего. Должность Перельмана в институте Стеклова приносит ему менее 100 долларов в месяц. Однако в жизни он настоящий аскет. Те должности на Западе, которые он отверг, обеспечили бы ему шестизначные зарплаты. Перельман же утверждает, что в краткий период своей работы на Западе он заработал столько, что ему хватит на всю оставшуюся жизнь.

Но это еще не все про Перельмана. Самая последняя информация о нем — он отказался и от места в институте Стеклова, так что теперь может наслаждаться уединением. Он проводит время, слушая оперу и подолгу гуляя. В математической жизни он больше не участвует.

Перельман говорит, что больше не имеет отношения к математике. Из-за «конкурентной» статьи Као и Чжу (ниже мы о ней еще расскажем), из-за жестких нападок высокопоставленных математиков Перельман решил, что профессии математика недостает этичности. Он говорит, что оставил математику, чтобы не участвовать в суете: