Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Гамильтон видел, что его метод потенциально может поддержать метод, предложенный Тёрстоном в его «программе геометризации». Можно начать с потоков Риччи в различных точках на поверхности и сформировать таким образом «геометрические участки», существование которых предсказывал Тёрстон (рис. 10.11). Смысл каждого из этих участков в том, что он содержит «идеальную геометрию» — такую, в которой миниатюрный обитатель такого участка, вооружившись рулеткой для специальной метрики на этом участке, не сможет отличить одну точку от другой.

Гамильтону удалось доработать эту методику, чтобы полностью осуществить идею только для двумерных поверхностей. (Да и в размерности три он смог продвинуться так далеко, что убедил многих в том, что это возможный способ доказательства гипотезы Пуанкаре, однако некоторые сложные оценки не позволили ему дойти до конца.) Как мы уже говорили, двумерные поверхности уже были классифицированы в середине XIX в. Жорданом и Мёбиусом. Хотя Гамильтон применил потоки Риччи к изучению двумерных поверхностей, никаких новых знаний от этого не добавилось. Но он смог получить некоторые частные результаты о существовании решений для потоков Риччи в размерности 3, правда, только для очень малых временных интервалов. Он смог сделать интересные утверждения о кривизне Риччи, но этого было недостаточно, чтобы доказать гипотезу Пуанкаре в трех измерениях. В этой точке потоки Риччи замерли больше чем на 20 лет[114].

Вот тут-то на поле брани появляется Григорий Перельман. Он родился в 1966 г. и очень рано выказал блестящие способности, хотя особой склонности стать математиком у него не было. Его отец, инженер, давал ему интересные задачки и книги, но в профессию Перельман вступил бочком, по-крабьи.

В 1982 г. он стал победителем в Международной математической олимпиаде. Вскоре после этого защитил диссертацию в Ленинградском государственном университете и стал работать в Математическом институте Стеклова в Ленинграде (это самый престижный математический институт в России). Он принял участие в некоторых программах в Нью-Йоркском университете и SUNY at Stony Brook в 1992 г. и оставил такое впечатление, что сразу же получил оттуда серьезные карьерные предложения. Но не принял их. Он производил впечатление очень необычного человека. Он отрастил ногти до 6 дюймов («Раз уж они растут, почему я должен мешать им?»), придерживался спартанской диеты из хлеба, сыра и молока и вообще был чрезвычайно эксцентричным.

В 1993 г. Перельман получил стипендию в университете Беркли. Тогда же его пригласили выступить на Международном математическом конгрессе в Цюрихе (1994 г.). Ему предлагали работу в Станфорде, Принстоне, Институте перспективных исследований и в университете Тель-Авива. Но он не согласился ни на одно из этих предложений. Когда его просили предоставить автобиографию для получения работы, Перельман отвечал: «Если они знают мои работы, моя автобиография им не нужна. Если они ее спрашивают, значит, не знакомы с моими работами».

В 1996 г. Перельман отказался от престижной награды для молодых математиков от Европейского математического общества. Говорят, что Перельман утверждал, будто комитет по награждению не в состоянии оценить его работу. Но к этому моменту уже было хорошо известно, что Григорий Перельман — человек странный.

В 2002 г., точнее 11 ноября, Перельман написал работу, ставшую прорывом: «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения» [PER1]. На четвертой странице введения там было утверждение, что в разд. 13 он даст набросок доказательства гипотезы геометризации (Тёрстона). Доказательство действительно представляло собой набросок, так что читатель оставался в неведении, что же именно в работе [PER1] доказывается, а что — нет. Но работа зажгла в мире костер.

19 ноября 2002 г. геометр Виталий Капович отправил Перельману сообщение по электронной почте:

Привет, Гриша! Неловко беспокоить тебя, но очень многие спрашивают о твоем препринте «Формула энтропии для потока Риччи…». Правильно ли я понимаю, что хотя пока ты не можешь завершить все шаги в программе Гамильтона, ты все же достаточно продвинулся, и после восполнения недостающих деталей сможешь доказать геометризацию? Виталий.

На следующий день Перельман ответил «Правильно. Гриша». Это сообщение от математика выдающихся способностей и результатов стало взрывом.

10 марта 2003 г. Перельман подготовил еще один препринт: «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях» [PER2]. Помимо прочего, эта новая статья включала многие детали доказательства, набросок которого появился в первой.