Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Конечно же, трехмерные многообразия гораздо сложнее вообразить (не говоря уж — классифицировать), чем одномерные и двумерные. До Тёрстона об этой проблеме было почти ничего не известно. Трехмерные многообразия интересны с точки зрения космологии и общей теории относительности — именно потому, что мы живем в трехмерном пространстве. Для чистых математиков интерес в этом вопросе, движущую силу в нем составляла знаменитая гипотеза Пуанкаре. Он сформулировал ее в 1904 г. в Париже: каждое трехмерная поверхность с геометрией/топологией сферы эквивалентна сфере. Пуанкаре сформулировал ее, основываясь на ранних исследованиях гомологии сферы. У него были некоторые соображения по доказательству, но они оказались несостоятельными. Чары этой задачи захватили математиков на целый век. У нее есть следствия, важные для геометрии нашей вселенной, так что она оказалась в центре внимания и математиков, и космологов. Раз в несколько лет возникают слухи, проникающие даже в популярные издания, о новом доказательстве гипотезы Пуанкаре. В 1986 г. о ее доказательстве заявил Колин Рурк из Уорвика. Благодаря его замечательной репутации это доказательство продержалось некоторое время, пока его не препарировали на семинаре в Беркли. В 2002 г. о доказательстве заявил М. Дж. Данвуди из Саутгемптонского университета. Он даже написал пятистраничный препринт, но это начинание тоже быстро заглохло.

Многие математики безуспешно пытались доказать гипотезу Пуанкаре. Но если программа геометризации Тёрстона была бы верна, то гипотеза Пуанкаре оказалась бы ее простым следствием. Так что в воздухе витало воодушевление утверждением Тёрстона. Его прежние работы пользовались заметным успехом — некоторые даже считали его величайшим геометром всех времен и народов — и он почти никогда не ошибался. Все были уверены, что для нас всех открывается новая глава в математике.

Но с доказательством случилась незадача. Программа геометризации — это не то, что можно доказать на странице или двух. Это огромное предприятие, которое ставит с ног на голову весь предмет. Это то, что историк науки Томас Кун [KUH] назвал бы «сдвигом парадигмы». Хотя Тёрстон был абсолютно убежден, что смог доказать свой новый взгляд на геометрию и топологию пространств низких размерностей (по крайней мере для некоторых ключевых классов), ему не удалось сообщить свое доказательство кому-либо еще. Было так много идей, так много новых конструкций, так много незнакомых артефактов, что было практически невозможно записать доказательство. Через некоторое время Тёрстон составил свои «Записки» [THU4], в которых объясняет программу геометризации.

Важно понимать, что значит слово «записки» для математика. Как мы уже видели в этой книге, у математиков есть традиция, восходящая к Евклиду и даже ранее, строго выводить все идеи, пользуясь жесткими правилами логики, и записывать все согласно строгому аксиоматическому методу. Корректно записанная математика — точная, ясная, кристальная, соответствующая стандартам и проверенным временем моделям. В противовес этому современная математика — быстро растущая область, в которой каждую неделю возникают новые идеи. Новые захватывающие концепции и техники появляются с волнующей частотой. Нередко бывает так, что математик не хочет тратить время на записывание своих идей в линейном, строгом виде. Если идея масштабная и важная, то на написание строгой версии могут уйти годы. Часто математики чувствуют, что у них просто нет на это времени. И тогда есть распространенный выход — «записки». Математик читает цикл лекций или курс (на уровне аспирантуры) и договаривается с кем-либо из студентов, что тот тщательно все законспектирует. Затем профессор скоренько редактирует эти записки и распространяет их. Мы уже упоминали, что Принстонская математическая библиотека — обширная коллекция такого рода записок. Многие математики сточили зубы, пытаясь разгрызть этот гранит науки, и заложили таким образом базис своего математического образования.

Так обстояли дела Уильяма Тёрстона около 1980 г.[113]. Он был автором одной из самых глубоких и захватывающих новых идей прошедших десятилетий. Он потратил бы очень много времени на то, чтобы придать этим идеям законченную форму и подковать их обычным математическим формализмом. Так что он прочел лекции и составил по ним записки. Математический факультет Принстонского университета размножил эти записки и продавал экземпляры каждому, кто был готов внести скромную плату.