Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Первоначально Макферсон планировал предпослать публикации предупреждение, своего рода отказ от ответственности:

Анналы не могут утверждать, что эта статья корректная. Тем не менее мы чувствуем, что она стоящая.

Вот вам и эталон современной математики! Подумайте о давней традиции математического доказательства. Подумайте, что оно собой представляет. Именно оно отличает математику от биологии, физики и инженерных наук. Мы, математики, не проводим экспериментов и не делаем правдоподобных выводов (которые могут быть опровергнуты позднее, и часто оно так и бывает). Вместо этого мы доказываем теоремы — раз и навсегда. Как только теорема доказана, а ее доказательство проверено и одобрено, эта теорема остается навечно. Она так же верна и полезна сейчас, как и в момент доказательства. Мы уверенно пользуемся теоремой Пифагора, раз уж Пифагор доказал ее 2500 лет тому назад. У нас нет никаких сомнений в теореме о простых числах, поскольку Адамар и де Валле Пуссен доказали ее за век до нас. Анналы всегда строго придерживались традиционного понимания математических теорем и доказательств. Все статьи придирчиво рецензировались. Журнал позиционировался как площадка для записи главных математических достижений и в нем всегда старались публиковать только безупречные статьи. Очень редко появлялись исправления или отзывы статей, опубликованных в «Annals of Mathematics». Но сейчас журнал отступал от выбранной линии. Маститые анналы собрались опубликовать результат, истинность которого никто не мог подтвердить! И вдобавок они решили признать эту неувязку в специальном предупреждении, отказавшись при этом от ответственности!

В этой книге вы уже не раз видели, что математика — это вполне человеческое предприятие, а не сухие вычисления, как многие подозревают. Человек может повлиять на направление, в котором развивается отрасль науки, или на задачи, над которыми идет работа, или на ценность, которая приписывается той или иной работе. Именно люди решают — кому получить награду, кому достанется желанная должность, кого выберут в Национальную академию наук. Люди определяют, что принимать в качестве доказательства, какие математические факты считать установленными.

Когда Джон Хортон Конвей узнал о планах относительно статьи Хэйлса в анналах, он всполошился и позвонил Макферсону, чтобы поделиться с ним своими соображениями. Позиция Конвея заключалась в том, что в анналах не следовало публиковать статью с предупреждением. Само слово «анналы» наводит на мысль о том, что журнал и его содержание — о вечных и непреходящих истинах. Такой журнал должен быть витриной математических истин, которые уже установлены. И никак иначе. Конвей убедил Макферсона отказаться от предупреждения, которое заменили на фразу в поддержку статьи[106]. Отметим, согласно веб-странице журнала Annals of Mathematics, статья была получена 4 сентября 1998 г., а принята к печати 16 августа 2005 г. Хорошо известно, что некоторые журналы до крайности неторопливы. Полтора-два года — типичный срок, за который журнал принимает статью, рецензирует, набирает и выпускает в печать. Медленному журналу на это может потребоваться три года или даже больше. Но семь лет — это уж слишком. Правда, надо помнить, что больше четырех из них ушли на рецензирование!

Текущая версия событий заключается в том, что анналы опубликовали схему доказательства Хэйлса. Эта схема носит название «Доказательство гипотезы Кеплера» и занимает 121 страницу ([HAL2]) в ноябрьском выпуске 2005 г. Подробности появились позднее и совсем в другом месте — в июле 2006 г. в журнале Discrete and Computational Geometry. Июльский номер был полностью отдан работе Хэйлса, а всего доказательству было посвящено 10 статей общим объемом 265 страниц, последняя статья вышла в 2010 г.

Это тоже новшество для почтенного журнала. Annals of Mathematics — барышня старомодная. Она публикует только полные, самодостаточные статьи с полными доказательствами новых важных результатов. Публикация статьи Томаса Хэйлса — попытка освоить новые территории. И ведь это пример для других журналов. Может случиться так, что все традиции обнародования результатов математических исследований изменятся под влиянием таких решений[107].

Имеющих склонности к техническим деталям беспокоит то, что решение Хэйлса задачи Кеплера использует программное обеспечение CPlex при работе с задачами линейного программирования. Проблема в том, что хотя программа CPlex надежна, она не указывает верные цифры в ответах. Специалисты по численному анализу полагают, что это ошибка разработчиков. Возможно, именно это соображение подтолкнуло к проекту FlySpeck (это рассчитанная на 20 лет программа, которая даст компьютерное подтверждение доказательства Хэйлса—Фергюсона).