Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Но спустя не такое уж большое время специалисты стали сомневаться в результатах Хсианга. Он утверждал: «Это самая худшая из возможных конфигураций шаров и мы должны ограничиться ее изучением». К несчастью, Хсианг не дал убедительных разъяснений, что задача сводится к указанному частному случаю. Более того, считается, что в задачах такого рода наихудших случаев не бывает. Следует разрабатывать аргументы, которые относятся ко всем случаям сразу. Одним из лидеров антихсианговского движения был Томас Хэйлс из университета Мичиган (сейчас университет Питтсбурга). Он опубликовал в Mathematical Intelligencer статью [HAL1], в которой вежливо и подробно разбиралось решение Хсианга. Надо отметить, что другие, включая Конвея, призывали Хсианга признать свои ошибки. Конвей опубликовал важную книгу [CON] по данной теме, и даже не упомянул в ней Хсианга. Но именно Хэйлс закусил удила и публично заявил, что Хсианг ошибся. Хсианг ответил Хэйлсу в работе [HSI4].

Томас Хэйлс мутил воду неспроста. Он придумал собственное доказательство гипотезы Кеплера, которое планировал опубликовать в виде серии статей. Хэйлс изучил работу Фейеша Тота и понял, что задача сводится к отысканию минимума функции от 150 переменных, для чего требуется решить около 100 000 задач линейного программирования[105]. В 1992 г. с помощью своего студента Сэмюэля Фергюсона Хэйлс приступил к построению доказательства знаменитой гипотезы. По ходу дела они написали шесть статей. Последняя деталь головоломки нашла свое место в статье «Доказательство гипотезы Кеплера» [HAL2], и это отдельная история.

Основная статья Хэйлса в рукописном виде занимала более 200 страниц. Он предложил ее журналу Annals of Mathematics. (Все статьи Хэйлса, включая последнюю, десятую, вышли в журнале Discrete & Combinatorial Geometry Journal издательства Springer в 2010 г.)

Annals of Mathematics — журнал высокого уровня, у него довольно строгие правила. Он вообще не рассматривает слишком длинные статьи. И отдает предпочтение только современным задачам. И наконец, в этот журнал принимают только статьи, написанные в классической математической форме. Можно сказать, что Annals of Mathematics — бастион традиционного математического доказательства, понимаемого как искусно выстроенная цепочка следствий, связанных между собою строгими правилами математической логики. Статья Томаса Хэйлса, сколь высокой оценки она ни заслуживала, не дотягивала до стандартов. Она во многом опиралась на компьютерные вычисления (как и решение задачи о четырех красках за четверть века до того). Но Роберт Макферсон, главный редактор журнала, испытывал своего рода склонность к компьютерным доказательствам. Ему нравилась сама идея — доказывать ветхую задачу с помощью компьютера. И редактор решил статью принять.

Но кто мог бы ее отрецензировать? Макферсон смог использовать положение и влияние Анналов, чтобы собрать команду из двадцати венгерских математиков под началом Габора Фейеша Тота (сына Ласло Фейеша Тота, пионера изучения задачи Кеплера, — о нем уже говорилось) с целью проработать статью и вынести вердикт. Они потратили несколько лет, вникая в подробности этой длинной и громоздкой работы. Рецензирование оказалось трудоемким и утомительным, так что состав рецензентов менялся: кто-то покинул команду, кто-то вышел на пенсию, кто-то умер. В конце концов они сказали, что верность математической части работы они подтверждают, но работу компьютера проверить невозможно, так что решительное заключение дать нельзя. За этими словами видна не вся суть.

Двадцать венгерских математиков в течение трех семестров вели семинар, посвященный этой статье. В общей сложности они проработали над ней четыре года. А в конце сказали, что на 99% уверены, что она верна.

Но Макферсон не сдался. Он принял статью Хэйлса для публикации в Annals of Mathematics (см. [HAL2]). По этому поводу Макферсон писал Хэйлсу:

Рецензенты вложили много энергии, я бы сказал, беспрецедентно много. В течение долгого времени они вели семинар на эту тему. Много людей работали, и работали не покладая рук. Они проверили большое количество локальных утверждений и каждый раз обнаруживали, что ваше утверждение корректно. Некоторые из этих утверждений были поначалу крайне неочевидны, и для их проверки требовались недели. …Они не смогли подтвердить корректность доказательства, и не смогут сделать это в будущем, так как иссякла энергия, которую они могут посвятить этой задаче.