Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Это целая сага, песнь духу сотрудничества, который распространен среди современных математиков. Но по дороге не обошлось без кочек и оврагов. Одному математику из Университета западного побережья досталась определенная часть программы. Он работал над ней несколько лет, создал рукопись в несколько сотен страниц, но в конце концов отчаялся и не закончил работу. К несчастью, за это время Горенштейн умер и мир потерял следы этого маленького кусочка пазла. Время от времени на конференциях кто-нибудь задавался вопросом: «А что там с квазитонкими штуками, что-нибудь делается?» — на что ему отвечали: «Не переживай, программа так тщательно разработана, этот вопрос обязательно кто-нибудь рассматривает. И потом, у нас есть дела поважнее». Наконец, Филдсовский медалист Жан-Пьер Серр написал статью о нетривиальной лакуне в доказательстве, которая обязательно должна быть устранена. Статья Серра произвела фурор, и, в конце концов, Ашбахеру и Смиту [ASM] пришлось проработать идеи в этой области и записать их. Получился двухтомник в 1200 страниц — всего лишь для того, чтобы заполнить одну лакуну.

Конечно же, как мы уже говорили, в мире есть специалисты, которые тратят практически все свое время на изучение классификации конечных простых групп и поиск способов упростить и прояснить рассуждения. Время от времени кто-нибудь обнаруживает значительный дефект в общей картине. Но программа устойчива, пробелы заполняются, и есть все основания полагать, что мало-помалу появится многотомник, в котором записано доказательство теоремы, для которого двух веков оказалось мало.

Сага о конечных простых группах все еще ждет своих томов. Отчасти проблема в том, что этому начинанию ничто человеческое не чуждо. Ключевые участники старятся, выходят на пенсию, умирают… Нельзя поручиться в том, что завет Горенштейна будет исполнен в том виде, как создавался.

10.2 Гипотеза Бибербаха — доказательство Луи де Бранжа

Гипотеза Бибербаха — один из старейших вопросов в теории комплексной переменной. Она относится к природе коэффициентов степенных рядов некоторых типов функций, аналитических на единичном диске комплексной плоскости. Рассмотрим аналитическую функцию

определенную на единичном диске . Мы считаем, что функция переводит различные точки z₁, z₂ в различные. Гипотеза заключается в том, что j-й коэффициент a_j не может быть больше (по модулю, т. е. абсолютной величине) j.

Подробностями мы здесь не будем заниматься. Отметим только, что это довольно технический математический вопрос, интересующий только специалистов, и что Луи де Бранж из Университета Пердью погрузился в него со всей страстью.

У Луи была репутация талантливого математика, творца новых прекрасных идей. Но еще он был известен чудачествами, поскольку слишком часто кричал «Волки!». Подчеркнем, что ошибаются все математики. Любой первоклассный ученый рискует, работая над сложной задачей, попасть «пальцем в небо», и при этом пребывать в абсолютной уверенности, что ему удалось получить решение. Ошибки бывают. Почти каждому хорошему математику случалось опубликовать статью, содержащую ошибку. А некоторым «посчастливилось» написать совершенно неверные работы. Учтите, что эти неверные места пропускают редакторы и референты, — такие вот ошибки иногда попадаются.

В математическом анализе есть еще одна известная задача — «задача об инвариантном подпространстве». Очень многие хотели бы решить ее, тогда раскрылась бы природа ограниченных операторов в гильбертовом пространстве (именно таким языком пишется современная теория квантовой механики). Но преуспеть не удалось еще никому. К несчастью, Луи заявил, что он-то смог ее решить, однако со своим решением сел в лужу. И это было не впервые — ранее де Бранж утверждал, что доказал гипотезу Рамануджана. (Позднее это смог сделать Филдсовский медалист Пьер Делинь.)

Комплексный анализ

Большой пласт в истории математики связан с решением полиномиальных уравнений. Допустим, задан многочлен (полином) p(x) = a₀+a₁x+a₂x²+...+a_kx^k, и стоит задача найти все его корни — такие значения переменной x, которые обращают его в нуль. У этой задачи тяжелая судьба, так как, например, у многочлена p(x)=x²+1 действительных корней нет. Подставьте вместо 1 любое действительное число, — меньше единицы в результате ни за что не получится. Пришлось изобрести комплексные числа, чтобы создать множество, на котором у всех многочленов есть корни. Оказалось, что комплексные переменные и комплексные функции — мощнейший инструмент для моделирования многих явлений природы. Динамика жидкостей, аэродинамика, геофизика, космология и многие другие области хорошо поддаются комплексному анализу. В наше время теорию функций комплексной переменной должен изучить каждый инженер.