Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Как и его брат Ву Чанг Хсианг из Принстонского университета, Ву Йи Хсианг из университета Беркли завоевал в 1960-х гг. репутацию специалиста в теории действий групп на топологических пространствах. В то время эта область росла как на дрожжах, и оба брата получили должности на математических кафедрах мирового уровня. Позднее интересы Ву Йи стали меняться, и братья обратились к захватывающей задаче, появление которой восходит ко временам сэра Уолтера Рэлея. Мы все знаем о ключевой роли Рэлея в истории Соединенных Штатов. Помимо прочего, именно он несет ответственность за наше пристрастие к табакокурению. В нем было что-то от авантюриста и даже пирата. Однажды он задал своему канониру вопрос о том, как экономнее всего складывать пушечные ядра. Оказалось, этот вопрос имеет математическую подоплеку, и с течением времени его передали выдающемуся математику и астроному Иоганну Кеплеру. Вот классическая формулировка задачи Кеплера: «Как эффективнее всего располагать в пространстве шары одного размера?» Кеплер поставил этот вопрос в брошюре под названием «Strena sue de nive sexangula», опубликованной в 1611 г. Интересно.

Рис. 10.3. Не лучшая упаковка кругов

Рис. 10.4. Лучшая упаковка кругов

Между прочим, с этим вопросом продавцы фруктов сталкиваются каждый день. Допустим, сотрудник супермаркета хочет разложить апельсины (мы считаем, что все они приблизительно одного размера и формы). Как это сделать лучше всего? Как поместить в ограниченное пространство как можно больше апельсинов? Вопрос может показаться легкомысленным, но на самом деле он очень глубокий, и ответ на него ни в коем случае не очевиден. А вот ответ на аналогичный вопрос для пространства двух измерений известен уже давно, и он заслуживает внимательного изучения. Давайте вначале посмотрим на рис. 10.3. Здесь изображены двумерные шары (мы по привычке будем называть их кругами) одного радиуса, упакованные на плоскости. Такую упаковку можно назвать «прямоугольной»; она представляет собой один из очевидных способов эффективной упаковки кругов на плоскости. Оказывается, это не лучший способ. В прямоугольной упаковке круги занимают приблизительно 0,7854 площади, а 0,2146 площади остается ими не покрытой. Изощренное упражнение теории матриц — показать, что наилучшая упаковка кругов на плоскости — шестиугольная, она изображена на рис. 10.4.

Несложные вычисления показывают, что эта упаковка действительно лучше первой — круги теперь занимают 0,9069 площади, — и можно доказать, что это действительно оптимальный метод[104]. Задача Кеплера об упаковке сфер заключается в том, чтобы найти аналогичный ответ в пространстве трех (и больше) измерений.

 Рис. 10.5. Трехмерный аналог плоской шестиугольной упаковки кругов

Часто считают, что трехмерный аналог плоской шестиугольной упаковки и есть оптимальное решение для сфер в пространстве трех измерений (рис. 10.5). Именно так сейчас раскладывают апельсины в супермаркете, а раньше так складывали ядра возле пушки. Плотность такой упаковки равна a=0,74048. Это означает, что 74,048 процентов объема занимают ядра, а 25,952 процентов — воздух. Сама Природа, упаковывая атомы в молекулы именно так, дает нам основания верить в то, что эта упаковка самая оптимальная. Но никаких доказательств до недавнего времени не существовало.

Впервые Кеплер сформулировал свою задачу в 1611 г. Так что это одна из старинных неприступных задач математики. Первого результата по этой проблеме добился Гаусс. Он показал, что гипотеза Кеплера верна, если заранее принять предположение, что сферы должны быть уложены в регулярную решетку. Так что если бы для гипотезы Кеплера существовал контрпример, он должен был описывать шары, уложенные как-нибудь нерегулярно. В наше время серьезно подошел к этой задаче Ласло Фейеш Тот ([FTO]). В 1953 г. он доказал, что задачу можно свести к конечному (хотя и очень большому) количеству вычислений, используя идеи линейного программирования Джорджа Данцига. Архитектор, геометр и предприниматель Бакминстер Фуллер в 1975 г. заявил, что доказал гипотезу Кеплера, но его доказательство оказалось ошибочным.

Интересные идеи об этой задаче в пространствах более высоких измерений предлагались Конвеем из Принстонского университета ([CON]). Ву Йи Хсианг предложил воспользоваться новой моделью сферической тригонометрии. Он фактически построил эту теорию заново, чтобы решить задачу Кеплера в пространстве размерности три. В 1993 г. он написал большую статью [HSI1] (92 страниц), а затем вспомогательную статью [HSI2], в которой объяснялось, о чем идет речь в первой, и приводилась схема решения задачи Кеплера об упаковке сфер. Эти статьи произвели фурор, ведь уже много лет за эту задачу никто даже и не брался.