Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Так что кредит доверия к де Бранжу был на нуле, когда в 1984 г. он заявил, что справился с классической гипотезой Бибербаха — задачей, впервые сформулированной в 1916 г. Чтобы еще больше все запутать, де Бранж не стал публиковать свое доказательство в статье на 20, 30 или 40 страниц, которую можно было сесть и прочитать. Вместо этого Луи де Бранж заявил, что доказательство — часть нового издания его книги «Гильбертовы пространства целых функций» [DEB1]. Вряд ли нашелся бы кто-нибудь, кто решился бы проработать 326-страничную книгу, чтобы выяснить, действительно ли автору удалось доказать гипотезу. Даже если не принимать во внимание предыдущие истории, доказательство Луи де Бранжа могло запросто пылиться в книге много лет, — вряд ли кто захотел бы потратить время на его проверку.

Но провидение было на стороне Луи де Бранжа! Морозной зимой 1984 г. он отправился в творческий отпуск, — в Математический институт имени Стеклова в Ленинграде. А у русских серьезные и влиятельные математические традиции, замечательная решимость и трудовая этика. Они провели с де Бранжем целый семестр, отцеживая его доказательство гипотезы Бибербаха из трехсотстраничной рукописи. При этом обнаружилось несколько недочетов и русские помогли их восполнить. Эти парни — настоящие герои в буквальном смысле этого слова. Они сделали эту работу.

В результате в журнале Acta Mathematica появилась 16-страничная статья [DEB2], любой желающий может ее прочесть и проверить доказательство. Его изучили и одобрили уже сотни математиков. Ни у кого нет сомнений, что гипотезу Бибербаха удалось доказать, причем именно Луи де Бранжу (с помощью потрясающей команды петербургских математиков).

Но это еще не конец истории. Луи де Бранж придерживался общепринятой в среде математиков практики рассылать экземпляры статьи еще до формальной публикации. Такая неопубликованная статья называется препринтом. Фактически это рукопись, хотя она и не написана от руки, а напечатана. Это официальное провозглашение факта, который, по мнению ученого, ему удалось доказать, вместе с собственно доказательством. Луи разослал сотни экземпляров по всему земному шару. Среди адресатов этой рассылки были Кристиан Поммеренке и Карл Фитцджеральд. А затем удача отвернулась от Луи. Фитцджеральд и Поммеренке обнаружили интересные и значимые способы упростить и прояснить рассуждения де Бранжа. Их идеи были достаточно важны, чтобы оправдать публикацию отдельной статьи. Они записали свои идеи и подали их в журнал Transactions of the American Mathematical Society (см. [FIP]). Из-за различных технических причин вышло так, что очень короткое (всего 8 страниц) доказательство Фитцджеральда/Поммеренке гипотезы Бибербаха вышло из печати раньше оригинального доказательства самого де Бранжа.

Луи не обрадовался. Хотя Фитцджеральд и Поммеренке очень уважительно к нему отнеслись (даже в названии своей статьи они указали его имя, а не самого Бибербаха!), без сомнения, ситуация была несимпатичной. На конференции, созванной с целью чествовать Луи как героя дня, Карл Фитцджеральд предоставил ему слово. Профессор де Бранж встал и провозгласил во всеуслышание, что Фитцджеральд и его соавтор — самые настоящие гангстеры, укравшие его идеи. Все это пахло очень неаппетитно.

И даже это еще не конец. Ленард Вайнштайн в Станфордском университете написал диссертацию (его идеи опубликованы в [WEI]), в которой существенно упростил доказательство де Бранжа. Новое доказательство, которое начинается с классического уравнения Левнера, опирается только на математический анализ и занимает всего четыре страницы. Хотя оно не было широко известно, но стало существенным шагом вперед. Однако Дорону Цайлбергеру [ZEI] удалось продвинуться еще дальше. В своей статье «Опирающееся на университетский курс алгебры и формального анализа доказательство гипотезы Бибербаха (по Л. Вайнштайну)», [EKZ], Цайлбергер и Шалош Б. Экхад дают доказательство гипотезы Бибербаха всего в нескольких строках! Оно заключается в проверке сложного комбинаторного тождества, а сама проверка может быть выполнена на компьютере. Стоит отметить, что первоначально Цайлбергер и Экхад планировали назвать свою статью «Карманное доказательство гипотезы Бибербаха для студентов». Однако по своим старомодным обычаям редакторы не пропустили бы статью с таким названием, так что название стало таким, как сказано выше. Особенно интересно отметить, что Шалош Б. Экхад — вовсе не человек. Это прозвище компьютера Цайлбергера!

10.3 Как Ву Йи Хсианг решил задачу Кеплера об упаковке сфер