Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Классификация конечных простых групп — один из величайших триумфов математики XX в. С нашей точки зрения это достижение интересно тем, что соответствующий математический результат невозможно приписать какому-либо одному ученому. Нельзя его назвать работой двух соавторов или небольшой команды, работающей в одном математическом институте. Классификация конечных простых групп следует из целого ряда работ сотен математиков разных стран, и начало этому ряду было положено в середине XIX в.

Классификация конечных простых групп занимает более 10000 страниц математического текста. Единого опубликованного изложения доказательства не существует[102], хотя в некоторой форме доказательство существует с 1981 г. С тех пор в нем обнаруживались пробелы[103], но все, известные к настоящему моменту, уже восполнены.

Вещь, ближе всего подходящая к «записи» классификации конечных простых групп, — четырехтомная работа «Классификация конечных простых групп» Горенштейна, Лионса и Соломона. Это 2139 страниц сжатых математических рассуждений, которые дают основную идею программы. Однако сам Майкл Ашбахер, ведущий авторитет в этой области, недавно дал оценку, что полное доказательство должно занимать более 10000 страниц. При этом надо не забывать, что имеются в виду 10000 страниц современного математического арго — сжатого, короткого, оставляющего значительную часть работы читателю.

В начале 1970-х гг. Даниэль Горенштейн (1923–1992) из Ратгерского университета убедил всех, что святой Грааль близок. Он собрал более 100 экспертов в этой области на конференцию и взял на себя труд организовать их в армию, которая бы атаковала значительную часть труда по составлению доказательства. Он подвел итог состоянию дел на тот момент и уточнил, что уже завершено и что еще нужно доделать, и смог убедить коллег восполнить пробелы и доказать результаты, которые никак не поддавались. Он назначил конкретные задачи отдельным людям и командам со всего мира. Процитируем Майкла Ашбахера:

…Данни Горенштейн начал рассуждать о глобальной стратегии доказательства. Действительно, он привлек внимание к определенным подзадачам, которые казались поддающимися решению, или почти поддающимися; он дал представление о подходах к некоторым подзадачам и о том, как различные модули могут быть скомпонованы в доказательство. Хотя программа время от времени была далека от того, что в конце концов вышло, в других случаях его предвидения были довольно точны. В любом случае, Горенштейн сфокусировался на задаче классификации конечных простых групп, и в процессе его усилия стали более явными. Он в некоторой мере структурировал задачу и по ходу дела постоянно прояснял — что именно уже сделано, и что сделать еще только предстоит. Короче говоря, Горенштейн управлял сообществом теоретиков, занимавшихся конечными простыми группами, и в несколько меньшей степени — построением самого доказательства.

В конце концов, в конце 1970-х гг. наступил момент, когда в программе оставалась последняя дыра. Еще в 1973 г. Бернд Фишер и Роберт Грисс предсказали, что существует «наибольшая» спорадическая простая группа, получившая название монстр. Подозревали, что в ней

элементов, но никому не удавалось описать эту группу, и даже не было уверенности в ее размере. Ученые вычислили таблицу ее элементов задолго до того, как обнаружили саму группу. Так что было много чего известно об этом монстре, кроме того, что он в действительности существует. Группа обладала особой притягательностью, поскольку разложение на простые множители

выражает атомные веса составляющих одной важной молекулы. В 1980 г. Гриссу удалось построить группу-монстр как автоморфизм алгебры Грисса (фактически группа может быть порождена двумя матрицами размера 196882x196882 над группой из двух элементов, а Джон Хортон Конвей смог упростить и эту конструкцию). Единственность этой особой группы установили Грисс, Майерфранкенфельд и Сегев в 1990 г. Это был последний штрих во всей программе. Классификация конечных простых групп была (в принципе) завершена!