Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Не так давно (с 1961 по 1985 г.) создание математической статьи стало мытарством нового типа. Какая технология была тогда доступна типичному математическому факультету для переноса математики на бумагу? В то время только одна: IBM Selectric Typewriter (его изобрел Элион Нойес из компании IBM). Если вы когда-нибудь видели такую машину, то знаете, что у нее не было специальных отдельных печатных деталей с символами, которые последовательно ударяли по странице — именно так были устроены печатные машинки, еще в XX в. IBM Selectric был устроен совсем по-другому. В нем был металлический шар (или элемент) диаметром примерно в полтора дюйма, вся поверхность которого была покрыта различными символами. Когда вы нажимали на клавишу, шар быстро вращался, так что нужная металлическая литера поворачивалась к странице, а затем отпечатывалась на ней через специальную чернильную ленту.

На стандартном, принятом по умолчанию, шаре в машинке IBM Selectric имелись обычные буквы алфавита a, b, c, d,…, A, B, C, D,…, цифры 1, 2, 3,…, стандартные типографские символы вроде &, %, # и так далее. Но был и другой шар, на котором располагались буквы греческого алфавита или даже еврейского. И еще один — со знаками интеграла, производной и другими, нужными для математических текстов. И так далее. На одном элементе было 88 символов. Для IBM Selectric существовали различные шрифты, а со временем появились разные размеры шрифтов, пробелов и другие изощренные возможности. Именно с помощью IBM Selectric создавались математические рукописи четверть века назад.

Чтобы использовать такую машину эффективно и успешно, требовались талант и обучение, и конечно же, много практики. Математическая статья, исполненная на IBM Selectric, выглядела профессионально подготовленной и легко читаемой. Но все равно она была далека от полиграфического издания. Математические тексты включают сложные сочетания символов различных размеров, например таких:

А печатная машинка по природе своей приспособлена для моноширинной печати. Это означает, что все символы имеют одинаковый размер и ширину и что все пробелы между ними тоже равны. Вертикальные пробелы в машинописи устроены довольно сложно. Поэтому IBM Selectric позволяла подготовить читаемый математический текст, однако его нельзя было назвать божественно прекрасным.

Все изменилось в начале 1980-х гг. Дональд Кнут из Станфордского университета изобрел издательскую систему T_EX. Эта книга подготовлена в этой системе[101]. Именно в ней набирается большинство математических текстов в наше время. T_EX — это язык программирования высокого уровня, как Fortran или Java. Это не текстовый редактор. Когда вы создаете документ в T_EXе, то на самом деле даете команду, в каком месте (с точностью до миллионной доли дюйма) и как расположить каждый символ и каждое слово на странице. Есть мнение, что изобретение T_EXа — самое важное событие в истории книгопечатания со времен Гутенберга и его печатного пресса.

Чтобы упростить использование T_EXа, в 1983 г. Лесли Лампорт создал пакет L^AT_EX. Лампорт разработал полезные макросы, которые делают T_EXнические команды, особенно команды форматирования, проще и интуитивно понятнее. Чтобы читатель получил представление о том, как работают T_EX и L^AT_EX, рассмотрим пример. Пользователь создает новый файл и с помощью текстового редактора набирает L^AT_EX-код, скажем, такой:

************************************************************

\documentclass{article}

\newfam\msbfam

\font\tenmsb=msbm10 \textfont\msbfam=\tenmsb

\font\sevenmsb=msbm7 \scriptfont\msbfam=\sevenmsb

\font\fivemsb=msbm5 \scriptscriptfont\msbfam=\fivemsb

\def\Bbb{\fam\msbfam \tenmsb}

\def\RR{{\Bbb R}}

\def\CC{{\Bbb C}}

\def\QQ{{\Bbb Q}}

\def\NN{{\Bbb N}}

\def\ZZ{{\Bbb Z}}

\begin{document}

Пусть $f$ --- непрерывная функция, отображающая множество комплексных чисел $\CC$ на себя. Рассмотрим вспомогательную функцию

$$

g(z) = \frac{\int_a.b \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z

+ \delta} \, dz}{[\cos z].z \cdot z.{\sin z}} \, .

$$

Тогда

$$

g \circ f (z)

$$

действует естественным образом на банаховом пространстве непрерывных функций, область определения которых --- единичный интервал $I$.

\end{document}

************************************************************

Затем пользователь компилирует этот исходный код, пользуясь стандартным LATEX-компилятором, который можно купить или скачать из Интернета.

Пользователь может вывести этот результат на экран или распечатать на принтере, отправить по факсу или электронной почте, вывести в pdf-файл или ps-файл, или еще что-нибудь с ним сделать. T_EX — мощное и гибкое орудие, которое вошло в жизнь каждого математика.

В наши дни большинство математиков умеют им пользоваться и набирают свои статьи именно в T_EXе. Поэтому большинство математических статей выполнены на высоком полиграфическом уровне, как они могли бы выглядеть в книге. Математические символы нужного размера и стиля располагаются в нужном месте, как в первоклассной математической монографии. Это открывает много возможностей.