Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Идея группы возникла в начале XIX в. в работах Эвариста Галуа (1812–1832) и Огюстена Луи Коши. Она стала одним из краеугольных камней современной абстрактной алгебры. Что же такое группа?

Сама по себе идея чрезвычайно проста. Группа — это множество (или набор объектов) G, снабженное бинарной операцией, которая удовлетворяет трем аксиомам. Давайте посмотрим на математику в действии. Как раз сейчас мы встретили определения и аксиомы.

Что такое «бинарная операция»? Это такой способ скомбинировать два элемента группы G так, чтобы они дали другой элемент этой группы. Например, если мы рассматриваем множество целых чисел, то обычное сложение — бинарная операция. Оно позволяет нам скомбинировать два целых числа так, чтобы получилось третье:

Мы скомбинировали числа 2 и 3, чтобы получилось 5. Умножение — тоже бинарная операция. Вот пример умножения:

Мы скомбинировали 2 и 3 и получилось 6.

Эти два последних примера очень уж бесхитростны. Бывают ли более экзотические примеры бинарных операций? Рассмотрим матрицы размера 2х2. Они умножаются по такому правилу:

Видно, что таким образом комбинация двух матриц 2х2 дает одну матрицу такого же размера.

Так что в группе G задана бинарная операция так, как показано выше; мы будем обозначать ее знаком • (это общепринятое обозначение, даже если в каком-то конкретном случае операция оказывается сложением или умножением или еще каким-нибудь другим способом комбинировать элементы). Перечислим аксиомы, которые управляют поведением бинарной операции:

1. Бинарная операция ассоциативна:

2. Существует специальный элемент , называемый единицей группы , такой, что e•g=g•e=g для каждого .

3. У каждого элемента  существует обратный элемент  такой, что

Оказывается, группы возникают во всех областях математики, физики и даже в инженерных науках. Приведем несколько примеров.

• Целые числа, снабженные бинарной операцией сложения, образуют группу. Сложение целых чисел ассоциативно: известно, что a+(b+c)=(a+b)+c. Единицей (тождественным элементом) здесь является 0, так как 0+a=a+0=a для всех целых a. И наконец, для произвольного целого a обратным элементом по сложению является -a.

• Положительные действительные числа (т. е. все положительные целые, рациональные и иррациональные), снабженные бинарной операцией умножения, образуют группу. В этой ситуации ассоциативность — стандартный арифметический факт. Тождественный элемент — единица, а для любого положительного элемента a обратным элементом по умножению является .

Матрицы 2x2 с ненулевым определителем, таким что

снабженные бинарной операцией матричного умножения (определенной выше), образуют группу. Ассоциативность матричного умножения — стандартный факт линейной алгебры. Единичным элементом является матрица

Для заданной матрицы A можно вычислить обратную матрицу:

Мы предлагаем читателю выполнить простейшее матричное умножение и убедиться, что

• Теория групп используется для описания ограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Согласно глубоким идеям Вернера Гейзенберга (1901–1976), Эрвина Шрёдингера (1887–1961) и Джона фон Неймана, такие операторы можно использовать для объяснения структур квантовой механики.

• Каждый сотовый телефон закодирован копией чисел Кэли. Это особая группа, нашедшая применение в математической физике, которая используется для кодирования информации, передаваемой сотовым телефоном.

Рис. 10.1. Квадрат

Группы — это универсальные математические объекты, они используются для описания, контроля или анализа большого числа самых разных физических явлений, поэтому задача классификации всех групп представляет большой интерес. Большого успеха в этом направлении удалось добиться в отношении конечных простых групп. Конечными называют такие группы, в которых конечное число элементов. Приведем один элементарный пример конечной группы. Рассмотрим многоугольник (скажем, квадрат), такой как изображен на рис. 10.1. Он обладает определенными симметриями: мы можем перегнуть его слева направо; сверху вниз; вдоль одной диагонали; вдоль другой диагонали; повернуть его на 90°, 180° или 270°. Набор всех этих симметрий (рис. 10.2) образует группу, в которой бинарной операцией является композиция (последовательное выполнение) операций. Ясно, что в этой группе конечное число элементов.

 

Рис. 10.2. Симметрии квадрата

«Простая группа» — несколько более техническое понятие. Группа называется простой, если ее нельзя представить в виде композиции двух других групп. Известна фундаментальная теорема о структуре, гласящая, что любая конечная группа состоит из более простых. Так что в определенном смысле задача классификации всех конечных групп сводится к задаче классификации всех конечных простых групп.