Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Одно из следствий этой колоритной истории заключается в том, что математики установили собственную премию. Это медаль Филдса, и учредил ее Джон Чарльз Филдс из Канадского математического общества. В 1924 г. Филдс председательствовал на Международном математическом конгрессе в Торонто. Кроме того, он был редактором трудов конгресса и предложил, чтобы значительные средства, вырученные от продажи этих трудов, пошли на учреждение премии для молодых математиков-исследователей. В 1932 г. Международный конгресс проходил в Цюрихе, там-то и одобрили учреждение этой новой награды. Назвали ее медалью Филдса. Изначально правила присуждения премии не накладывали заметных ограничений на кандидатов. Но в обычай вошло не награждать медалью Филдса математиков старше 40 лет: сороковой день рождения кандидата должен случиться не ранее 1 января года присуждения медали.

Цель премии — поддержать подающих надежды молодых математиков. Впервые присужденная в 1936 г. — Ларсу Альфорсу и Джессу Дугласу — медаль была скромным признанием развивающегося таланта. Со временем медаль Филдса стала величайшей наградой, которой может добиться математик. Получить медаль Филдса — значит буквально стать канонизированным в математических кругах. Филдсовские медалисты составляют очень узкий круг избранных. Всего в истории было 49 Филдсовских медалистов; последние четыре добавились в 2006 г.

Дизайн Филдсовской медали разрабатывал канадский скульптор Р. Тайт МакКензи. Она составляет 2,5 дюйма в диаметре. На аверсе изображен профиль Архимеда, повернутый вправо, а также надпись на латыни «Transire suum pectus mundoque potiri» (Подняться над собой и объять мир). На реверсе — латинская же надпись

CONGREGATI

EX TOTO ORBE

MATHEMATICI

OB SCRIPTA INSIGNIA

TRIBUERE,

что переводится как «Избранные в целом мире математики, награжденные за значительный вклад». 

 

Рис. 10.6. Классификация одномерных многообразий

 

Рис. 10.7. Классификация двумерных многообразий

Уильям П. Тёрстон получил медаль Филдса в 1982 г. в Варшаве, Польша. Он написал блестящую работу по теории расслоений (это такая область топологии — части современной геометрии) — свою докторскую диссертацию! Полученные результаты буквально перевернули всю эту область науки, решили много выдающихся задач и открыли новые пути. Так что признание было безусловно заслуженным. Тёрстон продолжил работу во всех областях топологии низких размерностей. Он стал образцом для всех математиков, молодых и старых. У него было много блестящих учеников, и его интеллектуальное влияние распространялось и по этому каналу тоже.

В 1977 г. (первая формальная публикация была в 1982 г. в [THU1]) Тёрстон сделал потрясающее открытие. Он нашел способ классифицировать все трехмерные многообразия. Идеи Тёрстона получили название «Программа геометризации». Математики называют многообразием поверхность определенной размерности. Такая поверхность может существовать, а может и не существовать в нашем обычном пространстве; она может быть абстрактной конструкцией. Классические результаты XIX в. говорят о том, что все одномерные и двумерные многообразия вполне понятны и классифицированы. Одномерные многообразия — это прямая линия и окружность (рис. 10.6). Любая одномерная «поверхность» путем изгибаний и растяжений может стать эквивалентной окружности или прямой. Любая двумерная поверхность (в обычном пространстве) путем изгибаний и растяжений может стать эквивалентной сфере, к которой приделано несколько ручек (рис. 10.7).

Тёрстону пришла в голову смелая идея — разбивать любое трехмерное многообразие на куски, на каждом из которых реализуется одна из восьми классических геометрий[112]. Тёрстон подробно изучил, какими должны быть эти восемь геометрий. Его теорема дала теорию структуры трехмерных многообразий.