Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Эти записки были настоящим блокбастером. По всей планете распространились их экземпляры. Там было так много прекрасных новых идей, они повлияли и даже в корне изменили исследовательские программы многих математиков, ведь в этих записках были начертаны новые пути. Беда была в том, что никто не верил, что эти записки составляли доказательство программы геометризации. Для Тёрстона это было ударом. Он продолжал разъезжать по миру и читать лекции, его ученики защищали диссертации и зажигали светила на математическом небосводе. Но он чувствовал, что ему — ограниченному временем и традиционным математическим языком — удалось лишь записать и распространить свои идеи. Загвоздка оказалась в том, что математическое сообщество — именно оно всегда выносит окончательный вердикт, что считать верным и общепризнанным, — было не готово одобрить его работу.

Тёрстон был не на шутку уязвлен таким положением дел. В 1994 г. он опубликовал статью «О доказательстве и прогрессе в математике» [THU2], где поднята полемика о природе математического доказательства. Здесь же, sotto voce, математическое сообщество обвиняется в том, что оно слишком медленно усваивает новые идеи. Эта статья вызвала эмоции в широком спектре — от удивления до гнева и фрустрации.

Много лет спустя Тёрстон опубликовал более формальную книгу [THU3] в престижной математической серии издательства Принстонского университета, в которой приступил к систематическому изложению деталей своей программы геометризации. В этом трактате он начал с азов и не оставил никаких деталей для додумывания. Он действительно изобрел новый взгляд на геометрию. В создании этой книги решительную роль сыграл его бывший аспирант Сильвио Леви. Она представляет собой замечательный и плодотворный вклад в математическую литературу. Недавно эта книга получила престижную награду AMS Book Prize. Но надо подчеркнуть, что эта книга — только первый шаг в долгом путешествии. Если сага Тёрстоновского доказательства программы геометризации будет создаваться в таком виде, то потребуется еще много таких томов. А их пока что-то не видно.

10.5 Атака Григория Перельмана на гипотезу Пуанкаре и программу геометризации Тёрстона

В 1982 г. математик Ричард Гамильтон придумал новую технику в геометрическом анализе. Метод под названием «потоки Риччи», — это способ изучения потока, генерируемого каким-нибудь источником вроде потока тепла (рис. 10.8). Гамильтон предложил записывать дифференциальное уравнение на данном многообразии, которое задает расстояние (математики называют его метрикой) и движение многообразия, так что скорость в любой данной точке может быть выражена через кривизну. Возможно, на эту идею Гамильтона натолкнуло наблюдение над замкнутой одномерной кривой на плоскости, когда вы то же самое делаете с ней: в процессе кривая сглаживается, все ее зубчики, изгибы и впадинки исчезают и она превращается в окружность (рис. 10.9).

Рис. 10.8. Поток Риччи

Рис. 10.9. Сингулярности потока Риччи

Предполагается, что примерно то же самое происходит с многообразием более высокой размерности, когда оно попадает в поток Риччи. Беда в том, что для высоких размерностей все становится куда сложнее. Трудно доказать существование решения дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, в процессе деформирования (очень приблизительно мы изобразили его на рис. 10.9) могут возникнуть неприятные сингулярности. Особенно досаждают так называемые «сигары», они напоминают длинные тонки трубки, примерно как на рис. 10.10.

Рис. 10.10. «Сигара» в потоке Риччи

Существует изощренный метод, разработанный в Принстонском университете Биллом Браудером и Джоном Милнором, под названием «теория хирургии». Этот метод позволяет разрезать эти досадные сингулярности — словно бы скальпелем, — а потом затыкать образовавшиеся дырки. Проблема в том, что в ситуации с гипотезой Пуанкаре сингулярности могут выйти из-под контроля. Они бывают как гидра — одну удалишь, и на ее месте возникает несколько других. (Блестящая догадка Григория Перельмана, работу которого мы будем обсуждать ниже, как раз и состояла в том, чтобы показать, что сингулярности возникают за конечное время. Это дает возможность их контролировать и, в конце концов, избавиться от них. Процесс последовательного исключения сингулярностей приводит к многообразию поприятнее — т. е. приближает к цели.)

Рис. 10.11. Поток Риччи порождает декомпозицию геометрий