Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Следом за телеграммой пришло письмо от самого профессора Радемахера о том, что его вычисления были проверены и одобрены знаменитым математиком Карлом Людвигом Зигелем из Принстонского института перспективных исследований. Редактор Альберт приготовился публиковать историческую статью в майском номере. Американские математики в нарастающем гуле слухов затаили дыхание. В последний момент профессор смиренно телеграфировал, что произошла ошибка; при перепроверке математик Зигель обнаружил пробел (неустранимый) в рассуждениях Радемахера. Американские математики чувствуют себя словно на следующее утро после празднования ложного перемирия. По словам редактора Альберта, «Вся история породила много несбывшихся надежд».

В наше время доказательством гипотезы Римана занимался Луи де Бранж (р. 1932), прославившийся благодаря гипотезе Бибербаха (см. разд. 10.2). При этом Луи поддался своей старой дурной привычке — он не однажды объявлял, что доказательство готово. Более того, он не однажды готовил рукопись. Но это еще не все. Он даже сделал продуманное обращение в фонд National Science Foundation с просьбой спонсировать конференцию, посвященную его доказательству гипотезы Римана. Все доказательства де Бранжа оказались ошибочными, и деньги на конференцию так и не выделили[119].

В отличие от Великой теоремы Ферма, над которой Эндрю Уайлс работал в тайне из опасения, что его сочтут ненормальным, гипотезу Римана решительно можно отнести к мейнстриму в математике. Она на острие математической важности и влиятельности, и даже частичный результат (вроде драматической теоремы Брайан Конри, о которой мы рассказывали выше) вызывает значительный интерес. В 1996 г. Американский математический институт спонсировал конференцию, на которой обсуждалось современное состояние задачи. Там были такие светочи науки, как Филдсовский медалист Алан Коннес (р. 1947), Атле Сельберг (1917–2007) и Пол Коэн (1924–2007). Высказывались очень смелые взгляды, а Коннес заявил, что у него есть очень важные идеи. После этого он написал несколько остроумных статей.

Пока писалась эта книга, в архиве препринтов arXiv появилась новая статья [XJLI] Ксиан Чжина Ли под названием «Доказательство гипотезы Римана». Отметим, что Ли — один из соавторов упомянутой выше статьи, в которой разбираются ошибки в рассуждении де Бранжа. Статья Ли основана на идеях Алана Коннеса. Заслуживает ли это доказательство доверия, пока не выяснилось.

Подчеркнем, что гипотеза Римана — все еще не решенный вопрос. Нельзя даже сказать, что мы в двух шагах от доказательства. Есть много обнадеживающих частных результатов, но конца пока не видно.

11.2 Гипотеза Гольдбаха

Гипотеза Гольдбаха — задача, которая мучила математиков еще в XVIII в. Кристиан Гольдбах (1690–1764), выдающийся специалист в теории чисел, много переписывавшийся с Леонардом Эйлером, в 1742 г. поставил такой вопрос:

Можно ли каждое четное число, большее 2, записать в виде суммы двух простых чисел?

Это глубокий вопрос, он интересен серьезному математику и понятен каждому дилетанту. Вроде бы все ясно:

и так далее. С использованием компьютера утверждение проверено для всех чисел до 10¹⁸. Но, как в этой книге неоднократно подчеркивалось, даже такая масштабная проверка не сравнится со строгим математическим доказательством. Математическое доказательство должно быть исчерпывающим и относиться ко всем четным целым числам, которые больше 2. Компьютер может проверить лишь конечное их количество.

Это задача из тех, что с легкостью попадают в популярные издания. Ее легко понять, а решение оценил бы весь мир. Суть ее легко уловить, и это искушает работать над задачей самых разных людей — не только профессионалов. Так что в газетах встречались самые разные сообщения о «решении», но все они оказались ложными.

Существует более слабое утверждение, которое могло бы следовать из гипотезы Гольдбаха. Известное под названием слабой гипотезы Гольдбаха, оно гласит, что любое нечетное число больше 7 можно представить в виде суммы трех простых.