Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Значит, первый перелет мухи, от левого поезда до правого, длится t=50/65 часов. Длительность второго перелета находится из уравнения

и таким образом составляет t=(50•15)/65². Продолжая такие расчеты, мы приходим к бесконечному ряду

Рис. 7.5. Путешествие мухи от поезда к поезду

Вот теперь можно воспользоваться стандартным приемом для вычисления суммы бесконечной геометрической прогрессии внутри скобок и прийти к ответу 65/50. Таким образом, мухе придется летать 1 час, пока ее не раздавят. А значит, она преодолеет расстояние в 40 миль.

В наше время даже персональный компьютер может работать со скоростью до одного гигафлопа в секунду (1 Gflop/s). Иначе говоря, компьютер выполняет миллиард базовых арифметических операций в секунду. Ни один человек — даже Джон фон Нейман — не может с ним сравниться.

В следующей главе мы начнем исследовать новые способы использования компьютеров для коммуникации, преподавания и построения доказательств. Нет никаких сомнений в том, что компьютеры изменили многие аспекты нашей жизни и продолжат это делать и далее.

Глава 8. Компьютер помогает преподавать и доказывать

Свет или, на худой конец, молния — мир может сделать свой выбор.

— Томас Карлейль

Чтобы понять ничто, нужно много времени.

— Эдуард Дальберг

Экспериментальная математика — это тот раздел математики, который имеет дело прежде всего с кодированием и передачей идей в математическом сообществе с помощью экспериментальных исследований гипотез и менее формальных воззрений, а также с помощью анализа полученных данных.

— Дж. Борвейн, П. Борвейн, Р. Гиргенсон, С. Парнс

Когда компьютерная программа применяет логические рассуждения настолько эффективно, что приводит к доказательствам, которые публикуются в математических и логических журналах, это знаменует важный этап. Этот этап был достигнут различными автоматическими программами. Их использование привело к ответам на открытые вопросы из таких областей, как теория групп, комбинаторная логика, теория конечных полугрупп, алгебра Роббинса, исчисление высказываний.

— Кит Девлин 

8.1 Программа Geometer’s Sketchpad

Geometer’s Sketchpad — это (программное) обучающее средство, разработанное компанией Key Curriculum Press, предназначенное для преподавания евклидовой геометрии в старших классах. В последнюю четверть века имеется тенденция развернуть преподавание геометрии в старших классах таким образом, чтобы снять акцент на доказательстве и усилить роль эмпирического и интуитивного подхода. Geometer’s Sketchpad удачно вписывается в эту тенденцию.

Эта программа позволяет пользователю рисовать квадраты, треугольники, круги и другие фигуры классической геометрии, сочетать их друг с другом, растягивать их, сравнивать, измерять и так далее. Это великолепное средство для экспериментов с геометрическими идеями. Что еще важнее, это эффективный способ для развития у учеников интереса к изучению математики. Нынешние студенты не испытывают энтузиазма от чтения сухих текстов и традиционных математических доказательств. Им гораздо интереснее погрузиться в среду и выполнять эксперименты с помощью Geometer’s Sketchpad. Так что это новое программное обеспечение в умелых руках может стать динамичным и эффективным средством обучения. Оно пользуется успехом на рынке. Целые страны, недавно например Таиланд, покупают лицензии на пользование Geometer’s Sketchpad.

8.2 Системы компьютерной алгебры