Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

К тому же программа MATLAB особенно удобна в работе с комплексными числами, а Maple и Mathematica здесь подкачали. Как-то стало модно называть все эти программные пакеты «системами компьютерной алгебры». Но на самом деле их функции шире.

Появились замечательные продукты, которые представляют собой надстройки над этими системами компьютерной алгебры. Например, Scientific WorkPlace компании Makichan Software — очень продвинутый текстовый редактор. Он специально заточен для работы с математическими документами. Представьте себе, что вы пишете учебник с помощью Scientific WorkPlace. Вы приводите какой-то пример. Оказывается, что у Scientific WorkPlace ядро пакета Maple, и он может проработать для вас этот пример! Это превосходный инструмент для проверки аккуратности ваших выкладок! И к тому же он очень удобен для авторов и других работающих математиков.

Мы дадим очень краткое описание некоторых других систем компьютерной алгебры в виде таблицы. Она дает представление о том, как разворачивалось во времени создание этих продуктов, и о том, насколько они разнообразны. Мы не пытаемся рассказывать о цене, доступности или лицензировании. К тому же список этот не полон; однако он дает представительную выборку продуктов, появившихся на свет. Прекрасный ресурс для их сравнения — сайт http://en.wikipedia.org/wiki/Comparison-of-computer-algebra-systems.

Таблица 1.2: Хронологический список систем компьютерной алгебры 

Schoonship - физика частиц, 1963

Macsyma - широкого назначения, 1968

Reduce - широкого назначения, 1968

bergman - алгебра, 1972

SAS - статистика, 1976

MuMATH - широкого назначения, 1980 

MATLAB - широкого назначения, 1984

Maple - широкого назначения, 1985

MathCad - широкого назначения, 1985

Derive - широкого назначения, 1988

PART/GP - теория чисел, произвольная точность, 1985

MicroMath - подгонка кривых, анализ данных, 1985

GAP - дискретная вычислительная алгебра, 1986

Mathematica - широкого назначения, 1988

MuPAD - широкого назначения, 1992

MAGMA - алгебра, теория чисел, 1993

GeomView - геометрия, 1996

Macaulay - алгебраическая геометрия, коммутативная алгебра, 2002

SAGE - широкого назначения, 2005

В наши дни многие математики держат системы компьютерной алгебры под рукой, загруженными и доступными. С их помощью выполняют вычисления, проводят эксперименты «а что если?», строят графики функций, чтобы лучше представлять их поведение. С такими системами можно получить весьма точный график функции двух переменных буквально за пару секунд. Чтобы выстроить его вручную, потребовались бы часы работы, и все равно точность оставляла бы желать лучшего.

С помощью Mathematica Notebook преподаватели могут составлять обучающие задания для использования на занятиях, при этом учащиеся получают доступ к вычислительной мощности пакета без изучения технического компьютерного языка. Интерфейс Notebook требует от пользователя только знания английского языка и владения мышью. Аналогичным функционалом снабжен и пакет Maple.

Из всего сказанного не следует делать вывод, что описанная деятельность в какой-то мере заменяет математическое доказательство. Но она оказывает неоценимую помощь в его поисках. Новые озарения, идеи и перспективы возникают при изучении результатов вычислений или графиков. Многие новые диссертации основаны на результатах работы систем компьютерной алгебры. Вычисления в статьях [CHE1], [CHE2], хотя и проведенные вручную, все равно опираются на работу такой системы. Оглядываясь назад, можно заключить, что системы компьютерной алгебры показывают нам, что происходит, и помогают замечать закономерности. После этого можно двигаться дальше, проводить выкладки и доказывать теоремы, придерживаясь более традиционного пути.

Очень поучительно поразмышлять над тем, что могут нам дать компьютерные вычисления. Рассмотрим тождество

Доказательства этого тождества не существует. Но оно было проверено в Вирджинском политехническом университете с точностью до 20 000 знаков за 45 минут работы компьютера с параллельной обработкой данных на 1024 процессорах. Какой вывод отсюда можно сделать? Что это тождество, вероятно, верное? Что оно очень похоже на верное? Что оно может быть верным? Или никакого вывода сделать нельзя? Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в работе [BBCGLM].

Это дивный новый мир, не открывшийся Гауссу или Евклиду, ни даже фон Нейману. Компьютер может дать убежденность в истинности факта. Но убежденность — не доказательство.

8.3 Численный анализ