Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Мы уже обсуждали идею численного анализа, когда рассказывали о методе Ньютона в разд. 5.5. Философская подоплека в том, что есть много задач, которые ставит перед нами действительность, для которых мы не можем найти точное решение в замкнутой форме. Вот один только пример: дифференциальные уравнения, которые описывают аэродинамический профиль, слишком сложны, чтобы их можно было решить. Однако мы вполне успешно умеем строить крылья самолетов. Как же это удается? Математики и инженеры комбинируют искусные догадки с численным анализом — это такой особый способ научного приближения.

Рис. 8.2. Приближение числа

Представьте себе, например, что мы хотим вычислить квадратный корень из 2. Это иррациональное число (см. разд. 2.3). Значит, представляющая его десятичная дробь бесконечна и непериодична. Значение нам интересно потому, что это длина диагонали квадрата с единичной стороной (см. рис. 8.2). Но мы не можем записать это значение в виде точной десятичной дроби. Мы можем записать только приближение. И действительно, с точностью до одиннадцати знаков после запятой

Для многих целей такая точность вполне удовлетворительна. В конце концов, это значение от искомого отличается не более чем на 10^-10. При разработке микрочипов, расчете траектории ракеты или решении еще какой-нибудь задачи может потребоваться более высокая точность. Тогда можно продолжить запись:

Здесь выписаны 25 верных цифр после запятой. Отметим, что один из способов выполнить такие вычисления — применить метод Ньютона (см. разд. 5.5) к функции x²-2, выбрав начальное приближение x₁=1. После 6 итераций получится приближение (8.2). При желании можно получить еще больше цифр в десятичной записи :

Но для практических целей вполне достаточно приближений (8.1) или (8.2).

Численный анализ

В школе мы все прониклись идеей решения математических задач. Но нас учили решать их точно. Учитель задавал задачу, и требовалось получить ее ответ, скорее всего, в виде определенного числа. Математические задачи, к которым приводят современные технологии, намного сложнее школьных. У них не всегда есть решение; по крайней мере, не всегда есть решение, которое мы умеем находить. Скажем, никто не умеет решать дифференциальные уравнения, описывающие форму самолетного крыла. Крылья моделируют, комбинируя (1) процедуры пошагового приближения, (2) экспериментирование и (3) догадку. То же самое можно сказать о моделировании автомобильных кузовов или человеческого сердца. Численный анализ — набор методов, многие из которых выросли из метода Ньютона трехсотлетней давности, предназначенных для отыскания приближенных решений задач анализа. Вообще говоря, точность этих решений можно надежно измерить, так что на практике они вполне значимы и полезны.

Численный анализ — систематическая наука о научных приближениях такого типа. Корни этой области знаний уходят к методу Ньютона, но сегодня она развилась и расширилась до сложного набора компьютерных методов. Численный анализ используется в инженерных и многих других прикладных науках.

8.4 Компьютерные изображения и визуализация доказательств

Одно из поразительных достоинств высокоскоростных компьютеров заключается в том, что они позволяют нам видеть вещи, которых раньше мы себе не могли и вообразить. Мы можем изображать сложные трехмерные наборы данных, строить графики сложных функций и использовать графику для новых способов представления данных. Простой пример — недавняя работа автора этой книги и реконструктивного хирурга Мишеля Седара, создавших программное обеспечение, которое разбивает изображение лица на части, отражающие тонкую геометрическую структуру его поверхности; это позволяет пластическому хирургу видеть анализируемый объект (лицо пациента) в новом свете и более эффективно планировать медицинские процедуры.

В наше время моделирование кузовов автомобилей, корпусов судов и многие другие конструкторские задачи выполняются на экране компьютера (в отличие от совсем недавнего прошлого, когда для этого прибегали к моделям из глины). Дизайн приборов, анализ разрушения, износ материалов, и много других важных направлений прикладных наук изучаются и анализируются на экране компьютера, поскольку компьютер позволяет нам видеть все яснее, подробнее и в новом свете. К тому же компьютеры позволяют проводить вычисления и моделирование в реальном времени, так что мы можем адекватно оценивать то, что видим.