Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Пример практического воплощения этих идей — программное обеспечение SLIP, предназначенное для дизайна автомобильных кузовов и разработанное командой математиков и инженеров из корпорации Volvo под руководством математика Бьорна Дальберга из Вашингтонского университета. Оно произвело революцию в своей отрасли. Традиционно кузова разрабатывались так: художники и дизайнеры обсуждали макет нового автомобиля, рисовали различные наброски, пробовали разные цветовые решения — и все на бумаге. На основе этого создавалась глиняная модель автомобиля. На этом этапе в работу включались инженеры, они изучали новый дизайн и критиковали его: а где здесь разместится мотор? Хватит ли места пассажирам? Что с требованиями безопасности? А с аэродинамикой? И так далее. Такого рода комментарии передавались художникам и дизайнерам. Они вновь принимались за наброски, создавали новую глиняную модель, ее передавали инженерам… Эти этапы повторялись много раз, пока не удавалось создать приемлемую модель. Работа требовала тысячи человеко-часов и занимала много месяцев. В начале 1980-х годов в концерне Volvo решили, что этот процесс пора модернизировать и автоматизировать. Компания привлекла для решения задачи своих инженеров. Для них она оказалась слишком сложной; продвинуться они не смогли.

Бьорн Дальберг — швед по национальности — был блестящим математиком-теоретиком, лауреатом престижной премии Салема в области гармонического анализа. Он всерьез занялся задачей дизайна автомобилей. Он применил изощренные методы из теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии, линейного программирования, теории выпуклых поверхностей, гармонического анализа, теории действительного переменного и других областей математики, чтобы создать мощнейшую программу SLIP, которая теперь постоянно используется в Volvo для разработки дизайна новых автомобилей. Ключевая идея SLIP в том, что автомобильный кузов — это объединение выпуклых поверхностей. Пользователь вводит данные — набор точек, через которые поверхность будет проходить (хотя бы приблизительно), уточняет критерии сопротивления воздуха, отражения света и другие, а затем SLIP проводит тщательные вычисления и создает поверхность — и графически, и аналитически. В этом и заключается революция SLIP в области дизайна автомобилей.

Рис. 8.3. Мыльная пленка

Помимо этого, компьютерная визуализация может быть важным средством доказательства. Хоффман, Хоффман и Миикс [HHM] и их геометрическая группа GANG (Geometry Analysis Numerics Graphics — геометрия, анализ, числа, графика) изучали минимальные поверхности, вложенные в трехмерное пространство. Под минимальной поверхностью здесь понимается (локально) поверхность наименьшей площади. Классический способ получить минимальную поверхность — придать проволоке нужную форму и окунуть ее в мыльный раствор. Получившаяся мыльная пленка (ее форма предсказывается и описывается, по крайней мере в принципе, дифференциальными уравнениями минимальной поверхности) и есть минимальная поверхность (см. рис. 8.3). Если проволока изогнута в виде окружности, то получается минимальная поверхность в форме круга.

Дифференциальная геометрия

Классическая (евклидова) геометрия имеет дело с кругами, треугольниками, квадратами и другими плоскими фигурами. А наш мир трехмерен и формы населяющих его поверхностей и тел ошеломительно разнообразны. Дифференциальная геометрия — предмет, созданный Карлом Фридрихом Гауссом и Бернхардом Риманом — предоставляет аналитические инструменты для понимания форм таких объектов. Дифференциальная геометрия Римана стала ключевым элементом для Альберта Эйнштейна, когда он создавал общую теорию относительности. В наши дни дифференциальная геометрия используется во всех областях космологии и математической физике.

Если же форма проволоки более экзотична, то минимальная поверхность будет более сложной двумерной областью.

Вначале, пользуясь методами численного анализа, Хоффман, Хоффман и Миикс генерировали графические примеры, а затем проанализировали их и обнаружили различные закономерности и взаимосвязи. После этого исследователям удалось сформулировать традиционную теорему и представить традиционное ее доказательство. Замечательно то, что компьютер позволил им увидеть вещи, которые раньше были недоступны. Он позволил визуализировать некоторые важные примеры, указавшие направление исследований. После этого, вдохновившись новым пониманием и прозрением, ученые смогли записать теорему и доказать ее. На рис. 8.4 изображена минимальная поверхность, которую эти три математика помогли нам открыть и понять.

Рис. 8.4. Минимальная поверхность