Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

На вершине и по бокам треугольника Паскаля стоят единицы. Каждое последующее число строки является суммой двух расположенных над ним чисел. Так формируется биноминальная структура треугольника. Он бесконечен и может быть легко заполнен без использования сложных вычислений, однако, несмотря на видимую простоту, обладает удивительными свойствами. В нашем случае нас может заинтересовать одно из них: фрактальность треугольника проявляется в том, что простые делители[106] чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры, визуально практически идентичные «ковру Серпинского». Для построения «ковра Серпинского» на основании треугольника Паскаля мы можем воспользоваться еще более простым правилом. Возьмем вместо чисел, которые после весьма незначительного количества строк становятся неудобно большими даже для компьютера, только черные или белые точки по следующему простейшему правилу: четные числа заменим на белые точки, а нечетные — на черные.

В приложении 8 к настоящей книге рассмотрена биноминальная модель ценообразования опционов, схема построения которой очень похожа на треугольник Паскаля, хотя говорить о фрактальности биноминальной модели опционов пока рано.

Примерами случайных фракталов служит почти все, что мы видим в природе, например деревья. Так, каждая из веток дерева подобна другой ветке и самому дереву в целом, хотя при этом и уникальна. Кстати, сам человек является случайным фракталом, так как он создан «по образу… и по подобию»[107].

Для разнообразия вновь вспомним японского мастера фехтования на мечах Миямото Мусаси: «Дух победы над одиночкой подобен духу победы над десятью миллионами. Стратег через маленькую вещь постигает большую. Так скульптор создает большую статую Будды по миниатюрной модели. Я не могу пояснить подробно, как это происходит, но цель такова: имея один предмет, понимать десять тысяч»[108].

Различают детерминистские фракталы, примером которых является и «ковер Серпинского», и сложные фракталы. При построении первых не нужны формулы или уравнения. Достаточно взять лист бумаги и произвести несколько итераций (одинаковых действий) над какой-нибудь фигурой. Сложным фракталам присуща бесконечная сложность, хотя они и генерируются простой формулой.

Классическим примером сложного фрактала является множество Мандельброта, получаемое из простой формулы:

где Zⁿ⁺¹ — новое комплексное число;

Z_n— предыдущее произвольное комплексное число Z;

С — заданное фиксированное комплексное число;

а — заданная константа, положительное число.

На рис. 7.9 мы видим фрактал второй степени, где а = 2.

Рис. 7.9. Множество Мандельброта (Z = Z₂ + C)

Источник:http://ru.wikipedia.org

Подводя итог фрактальной геометрии, следует отметить, что фракталы хорошо описывают природу, однако не объясняют ее.

Фрактал является аттрактором (пределом и целью) движения хаотической системы. Почему эти понятия идентичны? В странном аттракторе, так же как и во фрактале, по мере приближения мы можем увидеть все больше деталей, т.е. срабатывает принцип самоподобия. Как бы мы ни изменяли размер аттрактора, он всегда останется пропорционально одинаковым.

Самоподобие на рынках можно увидеть при чтении обыкновенных графиков. Например, попробуйте различить минутный, часовой и дневной графики любого товара, и вы увидите, насколько они похожи. Иными словами, фракталы и тиковых, и дневных графиков подобны. В техническом анализе типичным примером фрактала являются «волны Эллиотта», при построении которых также работает принцип самоподобия.

Первым наиболее известным и авторитетным ученым, исследовавшим фракталы, был Бенуа Мандельброт. В середине 60-х гг. XX в. он разработал фрактальную геометрию, или, как он ее еще назвал, геометрию природы. Мандельброт написал свой известный труд «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature). Многие называют Мандельброта отцом фракталов, так как он первым начал использовать их применительно к анализу нечетких, неправильных форм. Большой набор разнообразных фракталов — от природных до являющихся результатом человеческой деятельности — приведен на сайте Мандельброта в Йельском университете (http://classes.yale.edu/fractals/Panorama/welcome.html).

Еще одна идея, заложенная во фрактальности, заключается в нецелых измерениях. Мы обычно говорим об одномерном, двумерном, трехмерном и т.д. целочисленном мире. Однако могут существовать и нецелые измерения (например, 2,58, т.е. находящееся между двумерным и трехмерным измерениями), которые Мандельброт назвал фрактальными. Они показывают степень неровности измеряемого объекта, что создает основу для применения фрактального измерения в целях вычисления волатильности финансовых рынков, их «неровности».