Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

Аттрактор (от англ. to attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени. Можно проще сказать, что аттрактор — это предел системы, предел ее колебаний и динамики. Иными словами, аттрактор показывает границы возможных колебаний системы. Согласитесь, если бы мы нам было известно о таких границах применительно к рыночным ценам, то торговля получила бы важнейшее знание о возможных крайних проявлениях их динамики. Интересно, что в психологии отмечают такое явление, как предел свободной воли, когда, несмотря на достаточно большие различия в психологии поведения отдельных людей, их коллективное поведение достаточно прогнозируемо. Именно на этом свойстве, своеобразном аттракторе социального поведения людей, базируется реклама товаров массового спроса.

Здесь возникает необходимость дать определение понятию «фазовое пространство». Это абстрактное пространство, координатами которого являются степени свободы системы. Например, у движения маятника две степени свободы. Это движение полностью определено начальной скоростью маятника и его положением. Если движению маятника не оказывать сопротивления, то фазовым пространством будет замкнутый круг. В реальности на Земле на движение маятника влияет сила трения воздуха, а значит, в земных условиях фазовым пространством колебаний маятника будет спираль (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Движение маятника как пример фазового пространства (слева — в безвоздушном пространстве, справа — в земных условиях)

Однако вернемся к аттрактору. Самым простым его типом является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. свернется в точку.

Следующим типом аттрактора является предельный цикл, который имеет вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения.

Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота пульсации может снижаться или возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.

Третий тип аттрактора — тор (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Аттрактор тор

Итак, проще говоря, аттрактор — это область решений, то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и, соответственно, прогнозировать его. И хотя предсказать нахождение системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Первым хаотическим аттрактором стал аттрактор Лоренца (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале приводило в процессе эволюции к экспоненциальному накоплению ошибок и, соответственно, их стохастическому (случайному) расхождению.

Вместе с тем любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее событие крайне маловероятно. Совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость хаотического аттрактора (иногда говорят также складывание-вытягивание) систематически устраняет влияние начальной информации и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются, и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий они, наоборот, расходятся, и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность маломасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотического аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука (способностью устанавливать точные связи между причинами и следствиями), в хаотических системах практически недостижимо. Хотя в хаосе и есть причинно-следственные связи между прошлым и будущим, найти их крайне затруднительно.