Как покупать дешево и продавать дорого: Пособие для разумного инвестора

где n — период времени; индекс n означает сегодняшний, а n – 1 — вчерашний день;

x_n — текущая цена.

Считается, что придание более поздним значениям цен большего веса дает лучшую информативность для выводов, чем при расчете простой или взвешенной средней. По этой причине я лично при анализе динамики рыночных цен преимущественно использую экспоненциальную среднюю.

Средняя геометрическая применяется, если нужно вычислить среднее значение темпов роста. Кроме того, она используется при расчете индексов инфляции. Формула расчета средней геометрической базируется на извлечении корня n-й степени из произведения всех значений переменной x:

где x_i — анализируемая переменная;

n — количество наблюдений переменной x.

Мода — наиболее часто встречающиеся значения в ряде данных или интервал данных. Это так называемое типичное значение исследуемого ряда значений.

Например. Найдем моду номера группы в следующем ряду данных:

Максимальное число значений было в третьей группе (в количестве шести), а значит, модой номера группы является 3.

Немного труднее определить моду в диапазоне данных. Рассмотрим этот пример более подробно, так как именно диапазоны данных обычно используются в финансовой статистике.

Например, возьмем ряд котировок спроса (bid) валютного соотношения GBP/USD за один день 26 июня 1997 г., сгруппированных в диапазонах по пять пунктов.

Мода этого ряда будет находиться в интервале от 1,6661 до 1,6665. Точнее определить моду нам поможет графический способ анализа, как это изображено на рис. П.5.

Рис. П.5. Средняя и мода GBP/USD 26 июня 1997 г.

Несмотря на приблизительность данного метода оценки моды цена, найденная как наиболее типичная для GBP/USD 26 июня 1997 г., представляется более правильной, нежели средневзвешенное значение рассматриваемого ряда — 1,6656, которое мы определили раньше.

Медиана является срединным, центральным значением в перечне данных, расположенных в ранжированном порядке. Медиана обычно считается наиболее репрезентативным значением исследуемого ряда. Именно поэтому американские статистики используют ее в качестве основного показателя цены жилой недвижимости.

Например. Найдем медиану номера группы в уже известном нам ряду данных.

Серединой этого ряда является четвертая группа, поэтому медиана равна 4.

Для расчета медианы ряда можно также использовать следующую простую формулу:

Медиана

где n — количество наблюдений (в нашем примере — 7).

При расчете медианы интервального ряда применяется накопленная частота.

Например, возьмем уже известный нам ряд котировок спроса (bid) валютного соотношения GBP/USD за один день 26 июня 1997 г., сгруппированных в диапазонах по пять пунктов.

Если определить медиану по вышеприведенной формуле, то ее значение составит средняя между интервалами 1,6651–1,6655 и 1,6656–1,6660, т.е. приблизительно 1,6655/66. При анализе интервальных рядов, каковые являются обычными для финансовых рынков, правильно использовать метод накопленной частоты. Так что теперь рассчитаем медиану по этому методу. Первоначально необходимо определить, в каком интервале необходимо «искать» медиану, для чего вычислим среднюю накопленную частоту:

где f_i — суммарная накопленная частота (в нашем примере — 3043);

n — количество наблюдений переменной f(17).

Таким образом, медиану нужно «искать» в интервале средней накопленной частоты от 1,6656 до 1,6660, где находится от 1411 до 1810 частностей (частных значений). Это утверждение основывается на том факте, что в интервал от 1,6616 до 1,6655 входит только 1410 частностей, что меньше 1522. Более точно медиану найдем графическим способом (рис. П.6).

Рис. П.6. Графическое решение поиска медианы

Медиана, определенная графическим способом, составляет 1,6659, что является более точным ее значением по сравнению с 1,6655, найденным простым определением центрального значения ряда.

Очень важно, что медиана является более качественным отражением средних значений в распределениях с так называемыми тяжелыми хвостами, которые как раз и характерны для финансовых рынков.

Приложение 3

Расчет стандартного отклонения и дисперсии

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение вычисляется по следующей формуле:

где σ — среднеквадратичное отклонение;

x_i — анализируемая переменная;

— среднеарифметическое значение переменной x;

n — количество наблюдений переменной x.

Например. Необходимо найти стандартное отклонение ряда значений индекса Dow Jones Industrial (DJI, close) за январь 1999 г. по уже известным нам данным из приложения 2.

Количество наблюдений индекса DJI за этот период составляет 19 (n = 19). Среднеарифметическое значений индекса DJI за этот период равно 9346,13 ( = 9346,13). Для вычисления среднеквадратичного отклонения значений индекса DJI от среднеарифметического значения необходимо выполнить следующие действия.