Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинств учебниковъ и объяснялось нсколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ послдовательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вмсто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, дйствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, чмъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ариметическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и помщались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встрчаемъ въ старыхъ ариметикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это ясне видно на примр: чтобы составить, напримръ, 4x7, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизбжны, если на дло смотрть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зрнія, и въ данномъ случа съ той ошибочной точки зрнія, что будто бы чмъ объясненіе или способъ трудне, тмъ научне. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобртеніи разныхъ пріемовъ, не замчали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы стснялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумне средневковой, она смотрла на науку практичне и старалась сдлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

Намъ, привыкшимъ къ опредленному порядку умноженія, представляется чмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дйствіи не встрчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здсь они вс безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тмъ, которые боле всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное слдуетъ считать Адама Ризе, популярнаго нмецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ послднюю отдлку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды всхъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ извстная цифра, и, слд., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между тмъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ мстомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, убдитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и боле скорые, но нтъ ни одного такого, который представлялъ бы мене возможности сбиться. Примра на первый способъ мы продлывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ суметъ его придумать и ршить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія боле всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и тхъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не ршались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ имлъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Примръ:

Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда дтямъ понятне будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда дти поймутъ это и нсколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.

3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, нмецкимъ математикомъ XV вка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое: