Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

В XVIII столетии великий математик Карл Гаусс мгновенно решил эту старую задачку, еще когда носил короткие штанишки. Во всяком случае, так гласит легенда. Учитель ожидал, что мальчик станет складывать числа по одному, но гениальный ученик нашел закономерность.

Чтобы найти сумму чисел

1 + 2 + 3 + 4 + … + 97 + 98 + 99 + 100,

можно просуммировать пары крайних чисел:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) + … + (50 + 51).

Сумма этих пар чисел всегда одна и та же:

101 + 101 + 101 + 101 + … + 101.

Следовательно, общая сумма равна 50 раз по 101, или 50 × 101 = 5050.

Умница Карл! Эту историю обычно рассказывают так, будто Гаусс был первым, у кого возникла такая идея. Однако эта задача была включена в сборник Алкуина «Задачи для развития молодого ума» еще тысячу лет назад.

У лестницы 100 ступеней. На первой сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три и так далее до сотой ступени. Сколько всего голубей сидит на лестнице?

Хотя задача сформулирована иначе, арифметика в ней та же – сложение чисел от 1 до 100. Решение Алкуина также подразумевало сложение пар, но других. Он находил сумму первой и последней ступеней лестницы, получив 1 + 99 = 100, затем второй и предпоследней и т. д.

Следовательно, сумма равна (1 + 99) + (2 + 98) + (3 + 97) + … + (49 + 51) плюс 50 с пятидесятой ступени и 100 с сотой ступени, что равно:

(49 ×100) + 50 + 100 = 4900 + 150 = 5050.

Хотя решение Алкуина более громоздкое, чем Гаусса, оно легче, поскольку умножить на 100 проще, чем на 101. Если вы, подобно Алкуину, используете римские цифры, делайте так, как он.

Соль этих двух головоломок в том, что, если вам предлагают вычислить сумму большой группы чисел, не воспринимайте задание буквально, а попытайтесь найти закономерность.

Ниже представлены три замечательные головоломки со счетом. При их решении вы сможете применить этот принцип на практике.

101. ЗЕРКАЛО, ЗЕРКАЛО

Какая из двух сумм больше?

Ответ

102. ИНТЕЛЛЕКТ КАК У ГАУССА

Ниже в порядке возрастания приведены 24 четырехзначных числа, состоящие из цифр 1, 2, 3 и 4. Вычислите сумму этих чисел.

1234 1423 2314 3124 3412 4213

1243 1432 2341 3142 3421 4231

1324 2134 2413 3214 4123 4312

Ответ

103. СУММА ЧИСЕЛ В ТАБЛИЦЕ

А теперь запишем числа в таблицу. Вы знаете, что делать. Чему равна их сумма?

Следующие три головоломки – настоящая поэзия в математике. В каждой есть схема с девятью пустыми ячейками, в которых должны находиться цифры от 1 до 9. Восхитительно видеть, как простейшие числовые элементы – значащие цифры – изящно располагаются в пустых ячейках.

Существует 24 192 способа разместить девять цифр в каждой из этих схем. Если проверять новую комбинацию каждую секунду, то, чтобы перебрать все варианты, понадобилось бы больше двух недель. Так что попытайтесь найти способ сократить количество возможных комбинаций.

Ответ

104. ЦИФРЫ В КВАДРАТАХ

 –  =

×

÷ =

=

 +  = .

Ответ

105. УРАВНЕНИЯ-«ПРИЗРАКИ»

×  = .

×  = .

Ответ

106. ЧИСЛА В КРУГАХ

В этой головоломке содержатся три задачи. Заполните пустые ячейки так, чтобы сумма цифр в каждом круге равнялась 11. Решите эту задачу еще раз, чтобы сумма чисел в каждом круге составляла 13, и еще раз, чтобы сумма была равна 14.

Книга Томаса Дилворта The Schoolmaster’s Assistant, Being a Compendium of Arithmetic both Practical and Theoretical («В помощь учителю: краткое руководство по практической и теоретической арифметике») вышла в 1743 году и стала чрезвычайно популярным учебником по математике в Великобритании и США. В ней есть такая задача:

Джек говорит своему брату Гарри: «Я могу связать четыре тройки знаками математических операций таким образом, что они образуют число 34. Сможешь ли ты сделать то же самое?»

Ответ такой: 33 +  = 34.