Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Такие числа, как 1210 (в которых крайняя цифра слева указывает, сколько в данном числе цифр 0, вторая слева – сколько в нем цифр 1, третья слева – сколько цифр 2 и т. д.), называются автобиографическими. Существует всего два таких четырехзначных числа – это 1210 и 2020.

Единственное пятизначное автобиографическое число – 21 200.

В этом числе две цифры 0, одна цифра 1, две цифры 2, нет цифр 3 и 4.

Поняли принцип? Значит, вы готовы решить следующую задачу.

Ответ

118. АВТОБИОГРАФИЯ В ДЕСЯТИ ЦИФРАХ

Найдите единственное десятизначное автобиографическое число.

Это число будет расположено во второй строке представленной ниже таблицы. Каждая его цифра должна означать частоту встречаемости верхней цифры во второй строке.

Число, в котором есть все десять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0 (например, 1 234 567 890), называется панцифровым. (Крайняя цифра слева панцифрового числа должна отличаться от нуля.)

Ответ

119. ПАНЦИФРОВОЕ СТОЛПОТВОРЕНИЕ

Сколько существует десятизначных панцифровых чисел?

Интересный факт: все десятизначные панцифровые числа делятся на 3. Мы можем продемонстрировать это, применив признак делимости на 3, который вы, возможно, помните еще со школьных времен. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Десятизначное панцифровое число должно содержать каждую цифру только один раз. Таким образом, в результате сложения мы получим 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45, а это число делится на 3. Следовательно, все панцифровые числа делятся на 3. Изумительно!

А вот менее известные признаки делимости:

Признак делимости на 4: число делится на 4, если две его последние цифры составляют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8: число делится на 8, если три его последние цифры составляют число, которое делится на 8.

Возможно, вы захотите подумать над тем, почему эти два признака верны. А может, и нет. Как бы там ни было, они пригодятся вам в следующей головоломке.

Ответ

120. ПАНЦИФРОВОЕ И ПАНДЕЛИМОЕ ЧИСЛО

Найдите десятизначное панцифровое число abcdefghij, в котором:

• a делится на 1;

• ab делится на 2;

• abc делится на 3;

• abcd делится на 4;

• abcde делится на 5;

• abcdef делится на 6;

• abcdefg делится на 7;

• abcdefgh делится на 8;

• abcdefghi делится на 9;

• abcdefghij делится на 10.

Эта задача поразительно изящная, поскольку ее условие подразумевает наличие единственного решения. Вам понадобится калькулятор, что, впрочем, не испортит удовольствия при поиске ответа.

Придумайте трехзначное число, первая и последняя цифры которого должны отличаться минимум на 2. Пусть это будет, например, число 258.

Запишите его в обратном порядке и вычислите разность между двумя данными числами. В моем примере это 852–258 = 594.

Сложите полученный результат с его обращенным числом: 594 + 495.

Ответ – 1089.

Теперь попробуйте сделать то же самое с другим числом: запишите его в обратном порядке, вычислите разность, сложите полученный результат с его обращенным числом и…

Вы уже догадались! Ответ – 1089.

Каким бы ни было исходное трехзначное число, вы всегда будете получать один и тот же ответ – 1089. Этот факт неизменно производит большое впечатление на всех, кто сталкивается с ним впервые.

Итак, в арифметическом смысле 1089 – особенное число. И на то есть еще одна причина помимо вышеописанной.

Ответ

121. 1089 И ДРУГИЕ

При умножении числа 1089 на 9 получится его обращенное число: 1089 × 9 = 9801.

Найдите четырехзначное число, произведение которого на 4 представляет собой то же число, но записанное в обратном порядке. Другими словами, найдите такое число abcd, при условии, что abcd × 4 = dcba.

Число 102 564 также очень интересно меняется в случае умножения на 4:

102 564 × 4 = 410 256.

Вы заметили закономерность? Последняя цифра числа 102 564 становится первой цифрой числа 410 256, тогда как все остальные цифры не меняются. Иначе говоря, при умножении 102 546 на 4 получается число, представляющее собой тот же набор цифр, в котором крайняя цифра справа исходного числа перемещается в крайнюю левую позицию полученного числа.

Такая же трансформация происходит и в следующем примере:

142 857 × 5 = 714 285.

Крайняя правая цифра первого числа (в данном случае 7) становится первой цифрой произведения, а остальные цифры остаются теми же.

Ответ

122. ЗАДОМ НАПЕРЕД