Хаос. Создание новой науки

Любая совокупность уравнений, описывающих динамическую систему (в частности, уравнения Лоренца), позволяет установить определенные начальные параметры. В случае с тепловой конвекцией, например, один из заданных параметров характеризует вязкость жидкости. Значительные изменения исходных данных могут повлечь за собой ощутимые перемены в системе: например, вместо того чтобы стремиться к состоянию равновесия, система может начать совершать периодические колебания. Однако физики предполагали, что слабые изменения способны вызвать незначительное расхождение лишь в числовых данных, но никак не в качественном поведении системы.

Связав топологию и динамические системы, ученые получили бы возможность использовать геометрические образы для наглядного представления всего разнообразия способов поведения систем. С простой системой можно связать какую-то изогнутую поверхность, а со сложной – многообразие со множеством измерений[86]

. Точка на поверхности описывает состояние системы в определенный момент времени. С течением времени состояние системы меняется – и точка передвигается по поверхности, описывая на ней некоторую траекторию. Изменяя параметры системы – например, слегка повышая вязкость жидкости или немного увеличивая силу, прикладываемую к маятнику, – мы немного изгибаем эту поверхность или траектории на ней. Приблизительно одинаковые очертания траекторий свидетельствуют о приблизительно одинаковом поведении. Если мы можем наглядно их себе представить, то можем понять, как устроена система.

Когда Смейл обратился к динамическим системам, топологией, как и чистой математикой, занимались люди, относившиеся с пренебрежением к прикладному применению математических знаний. Физика и топология – дисциплины, родственные по происхождению. Однако математики начисто забыли об этом, изучая геометрические образы ради них самих. Смейл, будучи до мозга костей математиком, разделял общее заблуждение, полагая, впрочем, что абстрактные и понятные лишь немногим достижения топологии могут однажды обогатить и физику. Того же мнения придерживался в начале XX века и Пуанкаре.

Так случилось, что первый шаг в новой области Смейл сделал в неверном направлении. Если говорить на языке физики, он предложил закон природы, гласивший примерно следующее: система может вести себя беспорядочно, но подобное поведение не является устойчивым. Устойчивость – «устойчивость по Смейлу», как иногда называли ее математики, – была решающим свойством. Устойчивым именовалось такое поведение системы, которое не могло измениться из-за крохотной флуктуации одного из численных параметров. В любой системе может наблюдаться как устойчивое, так и неустойчивое поведение. Уравнения, которые описывают стоящий вертикально на острие грифеля карандаш, математически легко решаются, если центр тяжести карандаша располагается прямо над точкой опоры. Однако поставить карандаш в такое положение нельзя, поскольку оно неустойчиво: едва заметные колебания выводят систему из равновесия. С другой стороны, шарик, лежащий в лунке, там и останется. Даже если его слегка потревожить, шар вернется в прежнюю позицию. Физики полагали, что любое поведение системы, фактически доступное регулярному наблюдению, должно являться устойчивым, так как небольшие помехи и изменчивость в реальных системах неизбежны, а мы никогда не знаем точных значений параметров. Если вам необходима модель, физически реалистичная и одновременно выдерживающая незначительные изменения, то, по мнению физиков, вам определенно нужна устойчивая модель[87]

.

Плохие новости пришли в письме от коллеги вскоре после Рождества 1959 года, которое Смейл проводил в доме в Рио-де-Жанейро с женой, двумя малышами и кучей подгузников. В его гипотезе был определен класс структурно устойчивых дифференциальных уравнений. Смейл утверждал, что любая хаотическая система может быть приближена с любой степенью точности какой-то подходящей системой из определенного им класса. Но он ошибался. В письме его коллега сообщал, что многие системы вовсе не так понятны, как представлялось Смейлу[88]. В доказательство автор письма приводил систему, в которой сосуществовали хаос и устойчивость. Эта система была структурно устойчивой! Если вы ее слегка «пошевелите» (а любая естественная система постоянно испытывает случайные «шевеления»), ее странные свойства никуда не денутся. Устойчивая и странная… Смейл с недоверием вчитывался в строки письма, однако через некоторое время убедился в правоте коллеги[89].