Хаос. Создание новой науки

Энон обратился к другим вопросам, однако четырнадцать лет спустя, узнав о странных аттракторах Давида Руэлля и Эдварда Лоренца, астроном заинтересовался ими. В 1976 г. он уже работал в обсерватории Ниццы, расположенной высоко над уровнем Средиземного моря, на Большом Карнизе, и там услышал рассказ заезжего физика об аттракторе Лоренца. Гость, по его словам, пытался с помощью различных уловок прояснить изящную «микроструктуру» аттрактора, не добившись, впрочем, ощутимого успеха. Энон решил, что займется этим, хотя диссипативные системы и не входили в сферу его интересов («иногда астрономы относятся к ним с опаской — уж слишком они беспорядочны»).

Ему показалось разумным сконцентрироваться только на геометрической сущности объекта исследования, абстрагируясь от его физического происхождения. Там, где Лоренц и другие ученые применяли дифференциальные уравнения, описывающие непрерывные изменения в пространстве и времени, Энон использовал разностные, которые можно было рассматривать во времени раздельно. По его глубокому убеждению, ключом к разгадке являлись повторяющиеся операции растягивания и свертывания фазового пространства — те самые, что имитируют действия кондитера, который раскатывает тесто для пирожных, складывает его, затем, вновь раскатав, опять складывает, формируя таким образом хрупкую многослойную структуру. Энон, изобразив овал на листе бумаги и решив растянуть его, избрал для этой операции алгоритм, согласно которому каждая точка овала смещалась в новое положение на фигуре, которая аркой поднималась над центром. Выполняемая процедура была похожа на построение карты — точка за точкой овал превращался в «арку». Затем Энон начал вторую операцию — на сей раз сжатие, которое сдвигало внутрь бока арки, делая ее уже. А третье преобразование вернуло узкой фигуре ее прежние размеры, и она точно совпала с первоначальным овалом. Для целей вычисления все три построения могли быть объединены в одной-единственной функции.

По духу преобразования Энона повторяли идею «подковы» Смэйла. Вычисления, которых требовала вся процедура, отличались такой легкостью, что их можно было без труда выполнить на счетной машинке. Каждая точка имеет две координаты: x, обозначающую ее положение на горизонтальной оси, и y, задающую положение на оси вертикальной. Чтобы вычислить новое значение переменной x, необходимо взять предыдущее значение y, прибавить к нему 1 и вычесть предыдущее значение x в квадрате, умноженное на 1,4. Для расчета значения y нужно умножить предыдущее значение x на 0,3. Таким образом, получаем: x_новое = y + 1–1,4x²; y_новое = 0,3x. Энон почти наугад выбрал начальное положение и, взяв калькулятор, начал откладывать точки, одну за другой, пока их число не достигло нескольких тысяч. Затем с помощью компьютера ІВМ-7040 он быстро просчитал координаты пяти миллионов точек. Подобная операция доступна любому, поскольку здесь требуется лишь персональный компьютер с графическим дисплеем.

Сначала казалось, что точки беспорядочно «прыгают» по экрану, производя такой же эффект, что и сечение Пуанкаре, которое изображает трехмерный аттрактор, «блуждающий» туда-сюда по поверхности дисплея, но достаточно быстро проглядывает отчетливый контур, искривленный, словно плод банана. Чем дольше выполняется программа, тем больше появляется деталей. Кажется, что части рисунка имеют даже толщину. Однако в дальнейшем последняя распадается на две отчетливые линии, которые, в свою очередь, расходятся на четыре: две идут рядом, а две другие удалены друг от друга. Увеличив изображение, заметим, что каждая из четырех упомянутых линий включает в себя две и так далее, до бесконечности. Как и аттрактор Лоренца, аттрактор Энона обнаруживает бесконечное движение в обратном направлении, словно нескончаемая вереница матрешек, вложенных одна в другую.

^{Рис. 5.6. Аттрактор Энона. Несложная комбинация складывания и растяжения породила аттрактор, легко просчитываемый, но тем не менее плохо понимаемый математиками. С появлением тысяч и миллионов точек возникает все больше и больше деталей. То, что кажется одной линией, при увеличении оказывается парой. Потом выясняется, что линий уже четыре. И все же невозможно предсказать, останутся ли две последовательно появившиеся точки рядом или расположатся далеко друг от друга.}