Хаос. Создание новой науки

И вдруг Файгенбаум увидел, что гадать уже незачем. В системе пряталась неожиданная упорядоченность, числа приближались друг к другу, словно столбы высоковольтной линии, сходящиеся на горизонте в точку, — удвоения периодов не просто ускорялись, а ускорялись с постоянным коэффициентом.

Почему так происходило? Обычно появление геометрической сходимости предполагает, что в определенном месте некий объект повторяет сам себя в различных масштабах. Если внутри изучаемой системы таилась подобная масштабная модель, это было очень любопытно. Никто еще такого не наблюдал. Файгенбаум, рассчитав коэффициент конвергенции с наибольшей точностью, какая могла быть достигнута с имевшимся у него калькулятором (три цифры после запятой), получил следующий результат: 4,669. Имел ли данный коэффициент какой-либо математический смысл? Файгенбаум сделал то, что на его месте сделал бы любой ученый, хоть немного интересующийся числами: он провел остаток дня, пытаясь подогнать получившийся итог под известные постоянные: π, e и другие, но это ни к чему его не привело.

Удивительно, но позже Роберт Мэй понял, что он тоже наблюдал подобную геометрическую сходимость, однако забыл о ней столь же быстро, сколь мимолетно она промелькнула перед его глазами. С точки зрения эколога, это был не более чем специфический вычислительный эффект. В системах реального мира — популяциях животных и даже в некоторых экономических моделях — любые четкие закономерности неизбежно исчезали в шумах. Та самая неупорядоченность, которая до сих пор служила ученому путеводной нитью, заставила его остановиться на пороге открытия. Никогда бы ему не пришло в голову, что числовые тонкости столь важны.

Но Файгенбаум прекрасно понимал, к чему привели его вычисления, поскольку геометрическая сходимость указывала на присутствие в уравнении чего-то масштабного, а Митчелл в полной мере сознавал существенность масштаба, от которого, по сути, зависела вся теория перенормировки. В явно неуправляемой системе масштабность свидетельствовала о том, что определенное качество сохраняется, в то время как все остальные претерпевают изменения. Итак, где-то в изучаемом уравнения пряталась упорядоченность. Но где именно? Куда идти дальше, сказать было сложно.

Лето быстро сменяется осенью, которая сильно чувствуется в разреженном воздухе Лос-Аламоса. Уже подходил к концу октябрь, когда Файгенбауму пришла в голову странная мысль. Он знал, что Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн, рассматривая описанное выше уравнение и другие, выяснили, что определенное поведение повторяется при переходе от одного типа функции к другому. Обнаруживались те же сочетания знаков «П» и «Л», причем в том же порядке. Одна из исследованных ранее функций включала синус, из-за чего тщательно разработанный Файгенбаумом подход к изучению параболы оказался неподходящим. Ему пришлось начать заново; вновь используя свой НР-65, он начал рассчитывать удвоения периодов для функции x_t+1 = r sin πх_t. Расчет тригонометрической функции значительно замедлял вычислительную процедуру, и Файгенбауму пришла мысль использовать сокращенный вариант уравнения. И вновь, задав наибольшую возможную точность, он получил результат с тремя цифрами после запятой: 4,669.

То же число! Невероятно, но данная тригонометрическая функция не просто обнаруживала последовательную геометрическую регулярность. Наблюдаемый эффект оказался численно идентичным упорядоченности гораздо более простой функции! Ни математика, ни физика не объясняли, каким образом два столь различных по форме уравнения приводили к одинаковому результату.

Файгенбаум связался с Полом Стейном, но тот не поверил в подобное совпадение, посчитав доказательства недостаточными, — в конце концов, точность калькулятора оставляла желать лучшего. Несмотря на это Файгенбаум позвонил своим родителям в Нью-Джерси и сообщил, что столкнулся в своих исследованиях с весьма глубоким вопросом. Этот вопрос, объявил он матери, скоро сделает его, Файгенбаума, знаменитым. Затем он приступил к изучению других функций — всех, которые, по его мнению, также проходили через последовательность разветвлений на пути к хаосу. Вычисления давали неизменно тот же итог — 4,669.