Хаос. Создание новой науки

Файгенбаум, начав в Лос-Аламосе размышлять над феноменом нелинейности, понял, что из долгих лет своего обучения он, в сущности, не почерпнул ничего полезного. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений, не придерживаясь примеров из учебника, казалось невозможным. Способ пертурбаций с его последовательными корректировками идеализированной задачи, которая, как предполагалось, находится близко к реальной проблеме, выглядел довольно глупым. Ознакомившись с рядом руководств по нелинейным потокам и колебаниям, ученый сделал вывод, что сколько-нибудь разумному физику они мало чем помогут. Имея в своем распоряжении лишь карандаш и бумагу для вычислений, Файгенбаум решил начать с аналога простого уравнения, рассмотренного в свое время Робертом Мэем применительно к биологии популяций.

С таким уравнением — его можно записать как y = r (x — x²) — ученики средней школы знакомятся в курсе алгебры при построения параболы. Каждое значение x дает новое значение y, а полученная в результате кривая выражает связь между x и y в определенном диапазоне значений, при x, меняющемся от нуля до r. Если x (численность популяции в текущем году) мала, то y (численность популяции в следующем году) также будет невелика, но больше, чем x. Кривая резко поднимается вверх. Если значение x находится в середине диапазона, то в этом случае значение y велико. Но парабола выравнивается близ своей вершины и начинает снижаться так, что если значение x велико, значение y вновь мало. Именно это и является эквивалентом скачков численности популяции в экологическом моделировании, предотвращая ничем не ограниченный рост.

Для Мэя, а затем и для Файгенбаума главное заключалось в том, чтобы произвести это простое вычисление не один раз, а повторять его бесконечно, как в «петле обратной связи». Итоги одного подсчета служили исходными данными для следующего. Для графического представления результатов парабола оказывалась незаменимой. Надо было выбрать начальную точку на оси x, провести перпендикуляр вверх до пересечения с параболой, найти соответствующее значение на оси y и принять его за новое значение x. И так далее и тому подобное… Результат сначала будет «скакать» от одной точки к другой, а потом, вероятно, установится на уровне устойчивого равновесия, где значения x и y равны, т. е. численность популяции останется неизменной.

Казалось, нельзя было найти ничего более далекого от сложных расчетов теоретической физики. Вместо единовременного решения запутанной системы одна и та же простая операция повторялась вновь и вновь. Ставящий подобные опыты с числами скорее наблюдатель, словно химик, который следит за ходом реакции, бурлением внутри мензурки. Результат являл собой ряд чисел, не всегда достигавший в итоге стабильного значения: он мог завершиться и скачками значения в некотором интервале, или, как разъяснял Мэй своим коллегам, ряд мог продолжать изменяться совершенно хаотичным образом и настолько долго, насколько хватит терпения за ним наблюдать. Поведение числового ряда зависело от выбранного значения параметра.

Выполняя расчетную часть своих исследований, которую едва ли можно было назвать экспериментом, Файгенбаум одновременно пытался анализировать нелинейные функции с более традиционных, теоретических позиций. Даже тогда он не смог увидеть всю полноту возможностей, которые открывали уравнения. Тем не менее ученый понял, что возможности эти весьма сложны и анализ их окажется довольно трудоемким. Три математика из Лос-Аламоса — Николас Метрополис, Пол Стейн и Майрон Стейн — изучали в 1971 г. похожие алгоритмы, и теперь Пол Стейн предупредил Файгенбаума, что они заставляют поломать голову. Если анализ результатов решения простейшего уравнения оказался столь трудным, чего же было ожидать от гораздо более запутанных формул, которыми описываются реальные системы? И Файгенбаум отложил проблему в долгий ящик.

Этот эпизод из краткой летописи хаоса, история, заварившаяся вокруг одного-единственного, безобидного, на первый взгляд, уравнения, показывает, какими разными глазами ученые смотрят на одну и ту же проблему. Для биологов уравнение было знаком того, что простые системы способны на сложное поведение. Для математиков вопрос заключался в создании совокупности топологических моделей вне всякой связи с численными результатами. Они начинали процедуру «обратной связи» в определенной точке и наблюдали, как следующие одно за другим значения «прыгают» на параболе от ветви к ветви. По мере их движения справа налево ученые фиксировали наблюдаемую последовательность правостороннего (П) и левостороннего (Л) движений: итерация № 1 — П; итерация № 2 — ПЛП; итерация № 193 — ПЛЛЛЛЛППЛЛ… Математику подобные опыты могли поведать много интересного, но физику они казались утомительными и довольно туманными.