Книга 1. Звезды свидетельствуют

Указанная мера различия наглядно представляется как площадь, заключенная между графиками функций распределения F_t1,γ1,φ1(x) и F_t2,γ2,φ2(x), изображенными на одном чертеже. При этом площадь каждой из областей, заключенных между этими графиками, надо брать с соответствующим знаком, зависящим от того, какая из двух функций ограничивает данную область справа, а какая — слева, рис. 7.1. Та функция распределения F_t0,γ0,φ0(x), которая находится, в среднем, левее остальных функций F_t,γ,φ, отвечает наименьшим ошибкам в широте звезд множества E. Дату t₀ и значение систематической ошибки (γ₀, φ₀) в этом случае естественно рассматривать как приближения для истинной даты наблюдений и реальной систематической ошибки, сделанной наблюдателем.

Рис. 7.1. Эмпирические функции распределения ошибок в широтах звезд.

Проиллюстрируем сказанное на примере другого известного звездного каталога второй половины XVI века — каталога Тихо Браге. Рассмотрим в качестве информативного ядра набор из 13 именных звезд в каталоге Тихо Браге. Мы вычислили эмпирические функции распределения F_t,γ,φ при γ = φ = 0 и трех различных значениях t: t = 3 — то есть для 1600 года н. э., t = 3,5 — то есть для 1550 года н. э., и t = 4 — то есть для 1500 года н. э. Результат приведен на рис. 7.2. Из этого рисунка хорошо видно, что без учета возможной систематической ошибки в каталоге Тихо Браге (γ = φ = 0) оптимальной датировкой каталога является эпоха t = 3,5, то есть примерно 1550 год н. э. В самом деле, именно при такой датировке каталога, ошибки в широте выбранных 13 именных звезд будут наименьшими, в указанном выше смысле. Дата 1550 год действительно близка к известному времени составления каталога Тихо Браге, а именно, второй половине XVI века.

Рис. 7.2. Эмпирические функции распределения для каталога Тихо Браге; оптимальное значение t₀ = 3,5.

Приведем список этих 13 звезд из каталога Тихо Браге. В первую очередь, это Регул, Спика, Арктур, Процион, Сириус, Лира = Вега, Капелла, Аквила и Антарес, являющиеся именными звездами также и в Альмагесте. Кроме того, имеются еще четыре звезды: Каф = β Cas, Денебола = β Leo, Поллукс = β Gem и Шиат = β Peg.

Рассмотрим теперь эмпирические функции распределения F_t,γ,φ для множества звезд E, состоящего из 12 именных звезд Альмагеста, см. раздел 1. На рис. 7.3 приведены графики этих функций для t = 5 — то есть для 1400 года н. э., t = 10 — то есть для 900 года н. э., t = 18 — то есть для 100 года н. э. и t = 20 — то есть для 100 года до н. э., при различных γ. Значение φ везде взято равным нулю, поскольку к изменению φ картина мало чувствительна. Значения t = 10, то есть 900 год н. э., и γ = 21′ являются оптимальными, то есть, приводят к наименьшим ошибкам.

Рис. 7.3. Эмпирические функции распределения F_t,γ,φ для 12 именных звезд Альмагеста. Значение φ всюду равно нулю.

Полученная картина поведения графиков F_t,γ,φ для Альмагеста мало чувствительна к изменениям в составе именных звезд. Приведем для сравнения эмпирические функции распределения для использованных в примере с каталогом Тихо Браге 13 звезд, взяв на этот раз их координаты из Альмагеста, рис. 7.4. Значения t = 10, γ = 21′ остаются оптимальными и для этого списка звезд. На рис. 7.4 отчетливо проявляется разница между значениями γ = 21′ и γ = 0, уже отмеченная выше, а именно, вся совокупность графиков, соответствующих значению γ = 21′, лежит левее, — и, следовательно, отвечает меньшим ошибкам, — чем совокупность графиков при γ = 0. Другими словами, значение γ = 21′ «лучше», чем γ = 0, при всех датах t из априорного интервала.

Рис. 7.4. Эмпирические функции распределения для Альмагеста по 13 ярким именным звездам при t = 1, 5, 10, 15, 20. Сплошные линии: γ = 21′; штриховые линии: γ = 0.