Код креативности. Как искусственный интеллект учится писать, рисовать и думать

Мне кажется, что именно в этом месте математика становится в большей степени искусством, чем практически полезной наукой. Именно повествование, содержащееся в доказательстве теоремы, возвышает истинное утверждение о числах до чего-то, достойного места в пантеоне математики. На мой взгляд, у хорошего доказательства есть много общего с великим литературным произведением или великой музыкальной композицией, которая увлекает своих слушателей в путешествие, полное преображений и изменений.

Математические басни

Возможно, чтобы дать вам представление о повествовательном аспекте доказательства, лучше всего будет рассказать одну из таких математических историй. Речь идет об одном из первых доказательств, с которыми я познакомился, когда прочитал в тринадцать лет прекрасную книгу «Апология математика» Г.Г. Харди. Грэм Грин назвал эту книгу, описывающую, что значит быть математиком, лучшим описанием творческой работы художника со времен дневников Генри Джеймса.

Харди рассказывает в этой книге, вероятно, об одном из самых первых доказательств в истории математики, найденном еще Евклидом. Главные действующие лица этого доказательства – простые, то есть неделимые, числа, такие как 3, 7 или 13. Повествовательное путешествие, в которое я хочу вас пригласить, должно показать, что таких персонажей существует бесконечное множество и, если попытаться их все перечислить, это перечисление будет продолжаться вечно. Я уже показал вам в этой главе, как излагает это доказательство «Мицар». А теперь, с вашего разрешения, эту историю расскажу я.

Доказательство подобно математическому путевому дневнику. Евклид выглянул в свое математическое окно и увидел вдали математическую гору – утверждение о существовании бесконечного количества простых чисел. Следующим поколениям математиков нужно было найти путь, ведущий из знакомой области, карты которой математики уже составили, в эту новую, неизведанную землю.

Подобно рассказу о приключениях Фродо во «Властелине колец», доказательство – это описание путешествия из Шира в Мордор. В пределах знакомых земель Шира находятся математические аксиомы, самоочевидные истины о числах, а также те утверждения, которые уже были доказаны. Они представляют собой декорации, в которых начинается поход. Путешествие из этой родной области подчиняется правилам математического вывода, которые работают так же, как правила ходов шахматных фигур: они указывают, какие действия разрешены в этом мире. Временами путешественник попадает в кажущийся тупик и вынужден менять маршрут – уходить в сторону или даже возвращаться, чтобы найти путь, позволяющий обойти препятствие. Иногда для продолжения пути приходится ждать появления новых математических персонажей – например, мнимых чисел или дифференциального и интегрального исчисления.

Доказательство – это рассказ о походе и карта, на которую нанесены координаты пути. Это бортовой журнал математика. Успешное доказательство будет выполнять функцию системы указателей, позволяющих впоследствии всем математикам проделать тот же путь. Читатели доказательства переживают такое же, как и его автор, волнующее осознание, что эта дорога позволит им добраться до такой далекой и неприступной с виду горной вершины. Очень часто доказательство не пытается расставить все точки над «i», так же как в повествовании литературном не излагаются все подробности жизни персонажа. Это описание путешествия, а не повторение каждого его шага. Рассуждения, которые приводят математики, должны направлять мысли читателя. Харди называл наши рассуждения «болтовней, риторическими украшениями, которые должны производить психологический эффект, сопровождающими лекцию рисунками на доске, средством стимулировать воображение учеников».

Необычное свойство математических историй состоит в том, что они часто начинаются с конца. Задача состоит в том, чтобы показать, как прийти к этой развязке от того места саги, в котором мы находимся сейчас. Для повествовательного путешествия нужна некоторая экспозиция – краткое изложение случившегося раньше и описание уже известной территории. Нужно напомнить, что одна из важных характеристик простых чисел состоит в том, что они являются составными элементами всех остальных чисел. Любое число может быть получено перемножением простых чисел – например, число 105 равно произведению 3 ×5 ×7. Правда, иногда простые числа приходится повторять: скажем, 16 = 2 ×2 ×2 ×2.

Итак, начнем наш путь к объяснению того, почему существует бесконечное количество простых чисел. Предположим, что это не так и мы можем составить полный перечень этих персонажей, список действующих лиц. Это классический повествовательный прием из арсенала математика. Нужно вообразить мир, в котором истинна противоположность того, что мы пытаемся доказать, – как в «Алисе в Стране чудес» или «Волшебнике из страны Оз» – и позволить логике повествования привести нас к абсурдному заключению.