Код креативности. Как искусственный интеллект учится писать, рисовать и думать

Представим себе на мгновение, что этот список действующих лиц состоит из простых чисел 2, 3, 5, 7, 11 и 13. Тогда нетрудно показать, что в нем чего-то недостает. Перемножим этих персонажей:

2 ×3 ×5 ×7 ×11 ×13

Тут наступает момент, для меня подобный повороту сюжета, который приводит к потрясающей и неожиданной развязке. Что будет, если прибавить к этому числу 1?

2 ×3 ×5 ×7 ×11 ×13 + 1

Это новое число, которое я сконструировал с участием основных персонажей, тоже должно быть произведением простых чисел. Вспомним, что это правило было одним из элементов той известной обстановки, из которой мы начали это путешествие. На какие же простые числа делится созданное нами новое число? Они никак не могут входить в наш список действующих лиц. При делении на любое число из этого списка должен получаться остаток, равный 1. Но на какие-то простые числа это число делиться должно: значит, есть простые числа, не входящие в наш список. На самом деле это число получается перемножением 59 и 509.

Можно предложить добавить этих новых персонажей в наш список действующих лиц, но прелесть этой истории в том, что ее можно рассказывать снова и снова и каждый раз будет обнаруживаться, что в ней недостает персонажа. Мораль ее состоит в том, что для любого конечного списка простых чисел всегда можно найти персонажей, которые в него не вошли. Следовательно, количество простых чисел бесконечно.

Ч.т.д., как обычно говорят математики в завершение своих рассказов.

Истории о неожиданном

С моей точки зрения, в математическом построении важно не «ч.т.д.», не окончательный результат, а тот путь, который я прохожу, чтобы дойти до этой точки, – так же, как музыка не сводится к заключительному аккорду. Безусловно, важно знать, что количество простых чисел бесконечно, но удовольствие мы получаем от знания, почему это так. Наслаждение от чтения и создания математических выкладок связано с тем восхитительным моментом озарения, когда мы чувствуем, что все фрагменты складываются воедино и дают нам решение головоломки. Это похоже на момент разрешения в музыке или развязки в детективной истории.

Элемент неожиданности – важный аспект математики. Вот как описывает то, что больше всего привлекает его в математике, математик Майкл Атья: «Мне нравятся неожиданности. Рассуждение, следующее по стандартному пути, в котором мало нового, бывает скучным и неинтересным. Я люблю неожиданное, новые точки зрения, связи с другими областями, резкие повороты». Когда я разрабатываю новое математическое построение, на решения, которые я принимаю, влияет мое стремление увлечь читателя в интересное путешествие, полное крутых поворотов и неожиданностей. Я хочу помучить своих читателей вопросом о том, что может быть общего между двумя, казалось бы, не связанными друг с другом персонажами. А потом, по мере развития доказательства, приходит постепенное понимание или внезапное осознание того факта, что эти две идеи на самом деле одно и то же.

Одна из моих любимых теорем касается весьма любопытного свойства простых чисел некоторых типов, которое открыл Ферма. Он считал, что любое простое число, которое дает при делении на 4 остаток, равный 1, всегда можно записать в виде суммы двух квадратных чисел. Например, простое число 41 делится на 4 с остатком 1. И действительно, 41 можно выразить в виде 25 + 16, то есть 5² + 4²

. Но может ли это утверждение быть верным для всех таких простых чисел? Количество простых чисел, дающих остаток 1 при делении на 4, бесконечно. Какое отношение они могут иметь к полным квадратам?

Когда я впервые услышал зачин этой истории, я отнесся к ней с недоверием. Но, когда Ферма повел меня по пути своего доказательства, я ощутил огромное удовольствие при виде того, как эти радикально разные концепции, простых и квадратных чисел, сплетаются друг с другом и в конце концов сливаются в единое целое. Это похоже на музыкальную пьесу, в которой две вступающие в противоречие друг с другом темы изменяются и развиваются так, что в конце концов сливаются воедино.

Более простой пример этой идеи можно найти в следующей несложной игре, о которой я говорил в главе 9. Что получается при сложении последовательных простых чисел?

1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Сумма N

последовательных простых чисел дает N-е квадратное число. Почему это так? Доказательство можно увидеть на следующей схеме.

Удовлетворение дает неожиданный переход от чисел простых к числам квадратным. Я стремлюсь именно к этому озарению, возникающему, когда я внезапно вижу, почему между этими, казалось бы, не имеющими между собой ничего общего персонажами существует связь.