Космологические коаны. Путешествие в самое сердце физической реальности

Когда мы получали СОВЕТЫ ОТ ПОВАРА, мы описывали конкретную физическую систему — кухню — как набор состояний, что могут превращаться друг в друга при некоторой динамике. Мы видели и другие такие системы: летящую стрелу, падающий с башни шар, частицы, движущиеся в пространстве-времени в логове джинна, и так далее. Но взглянем на эту основную концепцию с более абстрактной точки зрения. Если мы обозначим буквой s одно состояние нашей системы, тогда s(t) будет состоянием системы в момент t. В падающем пушечном ядре, например, для определения s(t) нужны два числа: высота и значение направленной вниз составляющей скорости. Тогда s(t₀) могло означать, что «пушечное ядро находится в состоянии покоя на высоте 100 метров», а состояние s(t₁) через несколько секунд (в момент t₁) могло бы соответствовать «пушечному ядру на высоте 45 метров, падающему со скоростью 30 метров в секунду».

Многие законы физики определяют правила, переводящие данное состояние в некоторый момент времени в состояние в другой момент. Давайте присвоим символ U всей процедуре, в соответствии с которой это делается. Рассуждение о пушечном ядре привело Галилея к пониманию того, что, если мы пренебрегаем сопротивлением воздуха, падающие объекты подчиняются особому правилу, устанавливающему, что направленная вниз скорость в течение каждой секунды возрастает на определенную величину (около 10 м/сек). Включенное в U, это правило позволяет по заданной в момент t₀ высоте объекта и вертикальной составляющей скорости вычислить высоту и вертикальную составляющую скорость в любой последующий момент времени[61]. Вообще говоря, в классической механике U означает хотя и нечто гораздо более сложное, но в принципе похожее: нужно взять все частицы, рассчитать межчастичные силы и все траектории частиц, чтобы найти их положения и скорости в более поздние моменты времени; то есть это та самая процедура, которую джинн собирался использовать, чтобы узнать, как состояние мира эволюционирует от одного состояния к другому.

Когда у нас есть абстрактное понятие о состояниях s(t) и правило U, по которому развивается их эволюция (рис. ниже), можно в общем виде сформулировать и базовые свойства, которые должно иметь U, и те свойства, которые оно иметь не должно. Сосредоточимся на двух, особенно важных для разрешаемых нами вопросов.

Первое свойство — детерминизм: действительно ли из данного начального состояния следует, что при данном выборе более позднего момента времени в системе возникает единственное и неповторимое состояние? Высота нашего падающего пушечного ядра определенно обладает этим свойством: если мы введем текущую высоту пушечного ядра, скорость и интервал времени в соответствующую формулу и вычислим по этой формуле новую высоту, то мы получим одно-единственное значение. Классическая механика в общем случае обладает этим свойством — как и утверждал джинн. Им же будут обладать многие правила и алгоритмы, которые вы могли бы придумать.

Идеализированное пространство состояний системы.

Эволюционное правило U переводит любое состояние в момент t₀ в соответствующее состояние в более поздний момент времени t₁.

Второе свойство — унитарность, которую грубо можно определить как «обратимость». Если задано U, существует ли обратная процедура, позволяющая по данному состоянию в определенный момент времени восстановить состояние в начальный момент времени? Иными словами, можете ли вы повернуть часы вспять или перемотать назад ленту, безошибочно восстановив прежнее состояние? Что касается нашего пушечного ядра, то ответ — «да». Эта процедура соответствует перехватыванию на определенной высоте ядра, летящего с определенной скоростью вниз, и подбрасыванию его с той же скоростью вверх. Ядро при этом должно оказаться в точности на вершине башни. В классической механике, вообще говоря, обратная процедура соответствует движению классической частицы по той же самой траектории, по которой она двигалась через пространство-время, но назад.