Курс теоретической астрофизики

Рассмотрим переходы атома между состояниями i и j под действием электронных ударов. Число ударов первого рода в 1 см^3 за 1 с мы обозначим через n_ib_ij. При таких ударах происходят переходы атома из нижнего состояния i в верхнее состояние j за счёт энергии электрона. Число ударов второго рода в 1 см^3 за 1 с обозначим через n_ia_ji. При таких ударах совершаются обратные переходы, причём энергия возбуждения атома передаётся электрону.

Величины b_ij и a_ji характеризующие вероятности неупругих столкновений, связаны между собой простым соотношением. Для получения этого соотношения рассмотрим состояние термодинамического равновесия. В этом случае на основании принципа детального равновесия имеем

n

_i

b

_ij

=

n

_j

a

_ji

.

(25.5)

Но при термодинамическом равновесии распределение атомов по состояниям даётся формулой Больцмана. Поэтому из (25.5) находим

b

_ij

=

a

_ji

g_j

g_i

exp

-

h_ij

kT

.

(25.6)

Очевидно, что полученное соотношение справедливо во всех случаях, когда имеет место максвелловское распределение электронов по скоростям при температуре T.

Величина a_ji очень слабо зависит от температуры электронного газа, так как удары второго рода могут производиться электронами с любой скоростью (в этом случае электрон не затрачивает энергию, а получает). Наоборот, величина b_ij зависит от температуры очень сильно, причём b_ij тем больше, чем больше T. Это обусловлено тем, что удары первого рода могут производить лишь те электроны, энергия которых больше энергии возбуждения атома. В выражении (25.6) зависимость b_ij от температуры даётся в основном экспоненциальным членом.

Величины a_ji и b_ij выражаются через эффективные сечения для столкновений атомов с электронами. Пусть _ij(v) — эффективное сечение для удара первого рода между атомом и свободным электроном со скоростью v и n_ef(v)dv — число электронов со скоростями от v до v+dv в 1 см^3. Мы, очевидно, имеем

b

_ij

=

n

_e

v

_ij

(v)

vf(v)

dv

,

(25.7)

где mv^2=h_ij Для величины a_ji аналогично получаем

a

_ji

=

n

_e

0

_ji

(v)

vf(v)

dv

.

(25.8)

На основании квантовомеханических вычислений можно считать, что в случае метастабильных состояний эффективные поперечные сечения для столкновений обратно пропорциональны энергии электрона. Поэтому величину _ij(v) можно представить в виде

_ij

(v)

=

h^2

4m^2

(i,j)

g_iv^2

,

(25.9)

где (i,j) — безразмерное эффективное сечение (порядка единицы). Величина _ji(v) даётся аналогичной формулой с заменой g_i на g_j.

Подставляя (25.9) в (25.7) и пользуясь максвелловским выражением (23.6) для функции f(v), получаем

a

_ji

=

n

_e

h^2

4m^2

m

2kT_e

1/2

(i,j)

g_i

exp

-

h_ij

kT_e

=

=

8,54·10

n_e

T_e

(i,j)

g_i

exp

-

h_ij

kT_e

.

(25.10)

Для величины a_ji находим

a

_ji

=

8,54·10

n_e

T_e

(i,j)

g_j

(25.11)

Значения величины (i,j) для ряда ионов были вычислены Ситоном. Часть полученных им результатов приведена в табл. 37.

Таблица 37

Эффективные поперечные сечения

для столкновений

Конфигу-

рация

Ион

(1,2)

(1,3)

(2,3)

2p^2

N

II

2,39

0,223

0,46

O

III

1,73

0,195

0,61

F

IV

(1,21)

(0,172)

(0,58)

Ne

V

(0,84)

(0,157)

0,53

2p^3

O

II

1,44

0,218

1,92

F

III

(1,00)

(0,221)

(3,11)

Ne

IV

(0,68)

(0,234)

(3,51)

Na

V

0,43

(0,255)

(3,49)

2p

F

II

(0,95)

(0,057)

0,17

Ne

III

0,76

0,077

0,27

Na

IV

(0,61)

(0,092)

(0,30)

Mg

V

0,54

(0,112)

(0,30)

Вычисленные значения величия (i,j) отличаются от точных значений, по-видимому, не более чем на 40%, оценки (числа в скобках) — не более чем вдвое.

3. Интенсивности запрещённых линий.

Если нам известны вероятности столкновений, возбуждающих метастабильные состояния, и эйнштейновские коэффициенты вероятностей спонтанных переходов из этих состояний, то мы можем легко вычислить интенсивности запрещённых линий. Такие вычисления сильно упрощаются вследствие полной прозрачности туманностей для излучения в запрещённых линиях, обусловленной чрезвычайной малостью атомного коэффициента поглощения в этих линиях.

Для определения интенсивностей линий надо найти населённости энергетических уровней. Мы сейчас ограничимся рассмотрением только трёх нижних уровней атома. Как видно из рис. 32, в наиболее интересных случаях этого вполне достаточно.

Принимая во внимание переходы под действием соударений и спонтанные переходы, получаем следующие уравнения стационарности для второго и третьего состояний атома:

n

(

A

+

a

+

b

)=

n

b

(

A

+

a

),

n

(

A

+

A

+

a

+

a

)=

n

b

+

n

b

.

(25.12)

Решая эти уравнения относительно величин n и n, находим

n

=

n

(A+A+a+a)b+(A+a)b

(A+A+a+a)(A+a)+(A+a)b

,

(25.13)

n

=

n

b(A+a+b)+bb

(A+A+a+a)(A+a)+(A+a)b

.

(25.14)

Формулы (25.13) и (25.14) справедливы при любых концентрациях свободных электронов n_e от которых зависят величины a_ji и b_ij. В двух предельных случаях — при больших и малых значениях n_e — эти формулы существенно упрощаются.

При больших значениях n_e мы можем пренебречь спонтанными переходами по сравнению с переходами под действием столкновений. Легко видеть, что в этом случае, как и следовало ожидать, получается больцмановское распределение атомов по состояниям. Например, из формулы (25.13) при использовании соотношения (25.6) находим

n

=

n

(a+a)b+ab

(a+a)a+ab

=

n

g

g

exp

-

h

kT_e

.

(25.15)