Курс теоретической астрофизики

Напишем, далее, для границы звезды уравнение гидростатического равновесия. Из уравнений (35.1) и (35.2) следует

1

dP

dr

r=R

=-

G

M

R^2

.

(35.19)

где M — масса звезды. Пользуясь формулами (35.7), (35.8) и (35.10), вместо (35.19) находим

C(1+n)

u

y'(x)

=-

G

M

R^2

.

(35.20)

Подставляя в (35.20) выражение для C из (35.11) и выражение для из (35.18), получаем

u

ⁿ

=-

xM

4R^3y'(x)

.

(35.21)

Таким образом, искомые величины и u даются формулами (35.18) и (35.21). После их определения, как уже сказано, по формуле (35.17) может быть найдена плотность в любом месте звезды.

Очевидно, что величина uⁿ представляет собой плотность в центре звезды, т.е. _c=uⁿ. Обозначая через среднюю плотность звезды, имеем

=

M

.

4

R^3

3

(35.22)

Поэтому формулу (35.21) можно переписать в виде

_c

=-

x

3y'(x)

.

(35.23)

В таблице 55, взятой из книги Чандрасекара [3], даны значения величин x x^2y'(x) и _c/ для разных значений политропного индекса n.

Таблица 5

Зависимость некоторых параметров звезды

от политропного индекса

n

0

1

2

3

4

5

x

2,45

3,14

4

,35

6

,90

15

,0

x^2y'(x)

4,90

3,14

2

,41

2

,02

1

,80

1,73

_c

/

1,00

3,29

11

,4

54

,2

622

При помощи табл. 55 найдём в виде примера плотность в центре Солнца, принимая n=3. Так как средняя плотность Солнца равна =1,41 г/см^3, то для плотности в центре получаем _c=54,2=76,5 г/см^3.

Давление внутри звезды может быть найдено по формуле (35.6), для чего следует определить величину C, которая считается постоянной в звезде, но заранее не известной. При помощи формул (35.11), (35.18) и (35.21) имеем

C

=

4G

1+n

R^2

x^2

xM

4R^3y'(x)

(n-1)/n

(35.24)

Для давления в центре звезды находим

P

_c

=

G

4(1+n)

M

R^3y'(x)

^2

.

(35.25)

Чтобы найти температуру внутри звезды, надо задать уравнение состояния звёздного вещества, связывающее между собой температуру, плотность и давление. Мы примем, что звезда состоит из идеального газа. В таком случае в качестве уравнения состояния имеем

P

=

R_*

T

,

(35.26)

где R_* — газовая постоянная и —средняя молекулярная масса.

Из уравнения (35.26) при помощи соотношений (35.6) и (35.8) для температуры T находим

T

=

R_*

Cu

.

(35.27)

Таким образом, температура оказывается пропорциональной введённой выше величине u.

Легко получить, что в центре звезды температура равна

T

_c

=-

G

(1+n)R_*xy'(x)

M

T

.

(35.28)

Для Солнца при n=3 по формуле (35.28) находим: T_c=2·10 кельвинов (если считать, что =1). Разумеется, эта оценка T_c, как и сделанная выше оценка p_c, является весьма грубой. Однако, как увидим дальше, и более правильные модели звёзд, рассчитанные без предположения о политропной зависимости между давлением и плотностью, приводят к таким же по порядку результатам.

3. Гравитационная энергия звезды.

Для звезды, представляющей собой политропный шар, может быть получена очень простая формула, определяющая гравитационную энергию. Мы обозначим гравитационную энергию звезды через E. Эта величина отрицательна и численно равна работе, которую надо затратить, чтобы удалить все слои звезды в бесконечность, т.е.

E

=-

G

M_r

r

dM

_r

,

(35.29)

где интегрирование распространено на всю звезду.

Формулу (35.29) можно переписать в виде

E

=-

G

2

dM_r^2

r

=-

GM^2

2R

-

G

2

M

_r

^2

dr

r^2

.

(35.30)

На основании соотношений (35.4) и (35.7) получаем

G

M

_r

^2

dr

r^2

=-

M_r

dP

=-

Ck

k-1

M

_r

d

^k-1

.

(35.31)

Производя здесь интегрирование по частям и пользуясь формулами (35.3) и (35.6), находим

G

M

_r

^2

dr

r^2

=-

4

Ck

k-1

^k

r^2

dr

=

4

k

k-1

Pr^2

dr

.

(35.32)

Подстановка (35.32) в (35.30) даёт

E

=-

GM^2

2R

-

2

k

k-1

Pr^2

dr

.

(35.33)

С другой стороны, формулу (35.29) можно преобразовать так:

E

=

r

dP

dr

dM

_r

=

4

r^3

dP

=-

12

P

r^2

dr

.

(35.34)

Из (35.33) и (35.34) следует

E

=-

GM^2

2R

+

k

6(k-1)

E

,

(35.35)

откуда имеем

E

=-

3

5-n

GM^2

R

.

(35.36)

Этой формулой и определяется гравитационная энергия звезды при политропном индексе n.

Как видно из формулы (35.36), энергия E отрицательна лишь при n5. Исследование уравнения Эмдена показывает, что при n>=5 политропные шары имеют бесконечно большие радиусы.

Необходимо отметить, что гравитационная энергия звезды связана простым соотношением с её тепловой энергией. С целью получения этого соотношения обратимся к формуле (35.34) для гравитационной энергии звезды E. Эта формула была выведена непосредственно из уравнения механического равновесия (подчеркнём, что без предположения о звезде как политропном шаре). С другой стороны, тепловая энергия звезды, которую мы обозначим через Q, даётся очевидной формулой

Q

=

6

R

0

P

r^2

dr

,

(35.37)

где ^3/P — тепловая энергия единицы объёма. Сравнивая между собой формулы (35.34) и (35.37), имеем

E

+

2Q

=

0

.

(35.38)

Соотношение (35.38) представляет собой частный случай теоремы вириала, утверждающей, что в стационарной гравитирующей системе потенциальная энергия равна по абсолютной величине удвоенной кинетической энергии. В астрономии эта теорема часто применяется к звёздным системам. В рассматриваемом случае одиночной звезды под кинетической энергией звезды понимается её тепловая энергия.

С помощью теоремы вириала можно легко получить оценку температуры внутри звезды. Гравитационная энергия звезды, на основании формулы (35.29), может быть записана в виде

E

=-

GM^2

R

,

(35.39)