Курс теоретической астрофизики

В качестве уравнений механического и энергетического равновесия звезды возьмём уравнения (35.4) и (35.45). Поделив второе из этих уравнений на первое, получаем

dP_R

dP

=

L_r

4cGM_r

.

(35.50)

Введём обозначение

L_r

M_r

=

L

M

.

(35.51)

Подставляя (35.51) в (35.50), имеем

dP_R

dP

=

4cG

L

M

.

(35.52)

Эддингтон сделал предположение, что внутри звезды

=

const

.

(35.53)

При таком предположении вся правая часть уравнения (35.52) будет постоянной. Поэтому, обозначив

4cG

L

M

=

1-

.

(35.54)

из (35.47) находим

P

_R

=

(1-)

P

,

(35.55)

а значит,

P

_G

=

P

.

(35.56)

Мы видим, что при выполнении предположения (35.53) отношение газового давления к световому не меняется в звезде.

Из формул (35.48), (35.49), (35.55) и (35.56) следует

(1-)

P

=

1

3

aT

,

P

=

R_*

T

.

(35.57)

Исключая из этих соотношений T, получаем

P

=

C

^/

^3

,

(35.58)

где

C

=

3(1-)R_*

^1/

.

(35.59)

Если считать, что средний молекулярный вес постоянен в звезде, то величина C также будет постоянной. Поэтому уравнение (35.58) будет представлять собой политропную зависимость между P и при k=/. Иными словами, стандартная модель звезды оказывается политропным шаром n=3. Следовательно, распределение плотности, давления и температуры в стандартной модели даётся приведёнными выше формулами, основанными на решении уравнения Эмдена. В частности, сделанные выше оценки плотности и температуры в центре Солнца при n=3 соответствуют стандартной модели.

Ранее для политропного шара формулой (35.24) была определена постоянная C в зависимости от M, R и n. Теперь, пользуясь этой формулой, мы можем найти величину р внутри звезды. Приравнивая друг другу выражения для C, даваемые формулой (35.24) при n=3 и формулой (35.59), получаем, что величина определяется уравнением

1-

=

C

M^2

,

(35.60)

где

C

=

G^3a

48R_*[x^2y'(x)]^2

.

(35.61)

Из уравнения (35.60) видно, что доля светового давления 1- растёт вместе с массой звезды (=1, когда M=0, и =0, когда M=).

Таблица 56

Характеристики звёзд

согласно «стандартной модели»

Звезда

 M/M

 R/R

L/L

1-

_c

T

_c

Солнце

1,00

1

,00

1

,00

0,003

76

,5

20

·

10

Сириус А

2,34

1

,78

38

,9

0,016

31

,7

26

·

10

Капелла А

4,18

15

,9

120

0,045

0

,080

5

·

10

В таблице 56, заимствованной у Чандрасекара [3], приведены результаты вычислений некоторых характеристик для трёх звёзд, полученные при предположении, что звёзды построены согласно стандартной модели. При вычислениях были заданы значения M, L, R и было принято =1.

Эддингтон, основываясь на своей модели звезды, сделал заключение о существовании зависимости между массами и светимостями звёзд. Его рассуждение (в несколько изменённом виде) было следующим. Рассмотрим соотношения (35.54) и (35.60). Исключая из них величину , мы приходим к зависимости между величинами M, L, и . Будем считать, что величины и одинаковы для всех звёзд. Тогда получается зависимость между M и L. При этом при малых M, (т.е. при значениях , близких к 1) соотношения (35.54) и (35.60) дают

L

~

M^3

,

(35.62)

а при больших M (т.е, при малых значениях ) из (35.49) следует

L

~

M

,

(35.63)

Эддингтон сопоставил свои теоретические выводы с наблюдательными данными о массах и светимостях звёзд и получил согласие между ними. Разумеется, это согласие нельзя считать подтверждением рассматриваемой теории, так как при её построении был сделан ряд необоснованных предположений (главным из которых является предположение о постоянстве внутри звезды). Однако интересно то, что при этих исследованиях Эддингтон впервые получил зависимость между массами и светимостями звёзд из наблюдательных данных. Как известно, эта зависимость является одним из фундаментальных соотношений звёздной астрономии.

§ 36. Физические процессы внутри звёзд

1. Уравнение состояния звёздного вещества.

В предыдущем параграфе были в общих чертах выяснены физические условия в звёздных недрах (т.е. оценены значения плотности, температуры и давления). Теперь мы перейдём к рассмотрению физических процессов, идущих при таких условиях. Это позволит нам, в частности, получить выражения для тех параметров, которые входят в основные уравнения теории внутреннего строения звёзд.

Из приведённых выше результатов [например, из формулы (35.27)] следует, что с углублением в звезду происходит значительное увеличение температуры. Этим обусловлена сильная ионизация атомов внутри звезды. Как известно (см. § 13), отношение числа ионизованных атомов n к числу нейтральных атомов n даётся следующей формулой:

n

_e

n

n

=

g

g

2(2mkT)^3^/^2

h^3

exp

kT

,

(36.1)